Чтобы открыть сейф, нужно знать код. Известно, что код − трехзначное число, записанное тремя разными цифрами из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше, чем 400. Сколько чисел нужно проверить, чтобы узнать код?

Для решения задачи нужно рассмотреть несколько математических идей, связанных с комбинаторикой, числовыми неравенствами и порядком цифр в числах.

1. Определение трехзначного числа:

   • Трехзначное число имеет формат $ \text{XYZ} $, где $ X $, $ Y $, и $ Z $ — цифры, причем $ X \neq 0 $ (иначе число станет двузначным).
   • В задаче указано, что цифры $ X $, $ Y $, $ Z $ должны быть разными. Это означает, что каждую цифру можно использовать только один раз.

2. Условия выбора цифр:

   • Цифры, которые можно использовать: $ 1, 2, 3, 4 $.
   • Условие "разные цифры" требует, чтобы никакая цифра не повторялась. Если мы выбрали одну цифру, она исключается из возможных вариантов для следующей позиции.

3. Ограничение трехзначного числа:

   • Число должно быть больше $ 400 $. Это накладывает ограничения на первую цифру $ X $: $ X \geq 4 $.
   • Так как цифры ограничены лишь значениями $ 1, 2, 3, 4 $, единственный вариант для $ X $ — цифра $ 4 $ (поскольку она единственная удовлетворяет этому условию).

4. Формирование чисел:

   • После выбора $ X = 4 $, оставшиеся цифры для $ Y $ и $ Z $ — $ \{1, 2, 3\} $. Из этих цифр нужно выбрать две, которые будут стоять на второй и третьей позициях. Порядок цифр на позициях $ Y $ и $ Z $ важен, поскольку числа $ 412 $ и $ 421 $ — разные.

5. Комбинаторика для выбора цифр:

   • Сначала выбираем две цифры из множества $ \{1, 2, 3\} $. Количество способов выбрать две цифры из трех определяется как $ \binom{n}{k} $, где $ n $ — количество элементов в множестве, $ k $ — количество элементов, которые нужно выбрать. Формула для вычисления: $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}. $$ Для $ n = 3 $ и $ k = 2 $: $$ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3. $$
   • После выбора двух цифр, порядок их размещения важен. Для каждой пары цифр количество перестановок равно $ 2! $ (перестановки двух элементов): $$ P_2 = 2! = 2. $$

• Таким образом, для каждой пары цифр существует $ 2 $ возможных порядков, а всего пар — $ 3 $. Общее число вариантов: $$ \text{Всего чисел} = \binom{3}{2} \cdot P_2 = 3 \cdot 2 = 6. $$

1. Вывод:
   • $ X $ фиксирован как $ 4 $. Для каждой комбинации цифр $ Y $ и $ Z $ есть $ 6 $ различных трехзначных чисел, которые удовлетворяют условиям задачи.

Теперь осталось проверить каждое из этих чисел, чтобы найти код.