Какое наибольшее число квадратов со стороной 2 см можно вырезать из квадрата, площадь которого равна 1 $дм^2$?

Для решения задачи нужно использовать знания о площади фигур, их соотношениях и преобразовании единиц измерения. Давайте разберемся с этим поэтапно:

1. Преобразование площади квадрата в одинаковые единицы измерения

• Площадь данного квадрата равна $1 \, \text{дм}^2$. Но стороны квадрата, которые будем вырезать, заданы в сантиметрах. Следовательно, сначала нужно перевести площадь квадрата в квадратные сантиметры.
• Вспомним, что $1 \, \text{дм} = 10 \, \text{см}$. Площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому: $$ 1 \, \text{дм}^2 = (10 \, \text{см})^2 = 100 \, \text{см}^2. $$
• Таким образом, данный квадрат имеет площадь $100 \, \text{см}^2$.

1. Расчет стороны большого квадрата

• Известно, что площадь квадрата вычисляется по формуле: $$ S = a^2, $$ где $a$ — длина стороны квадрата.
• Подставляем площадь большого квадрата ($S = 100 \, \text{см}^2$) в формулу: $$ a^2 = 100. $$
• Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения: $$ a = \sqrt{100} = 10. $$
• Таким образом, сторона большого квадрата равна $10 \, \text{см}$.

1. Площадь и размеры малого квадрата

• Малый квадрат, который мы будем вырезать, имеет сторону $2 \, \text{см}$.
• Его площадь вычисляется по формуле для площади квадрата: $$ S_{\text{малого квадрата}} = a^2 = 2^2 = 4 \, \text{см}^2. $$

1. Количество малых квадратов, которые можно разместить в большом квадрате

• Чтобы определить, сколько малых квадратов можно вырезать из большого квадрата, нужно понимать, что они должны укладываться без зазоров и остатков.
• Для этого рассматриваем размещение малых квадратов по сторонам большого квадрата. Если сторона большого квадрата равна $10 \, \text{см}$, а сторона каждого малого квадрата равна $2 \, \text{см}$, то вдоль одной стороны большого квадрата можно разместить: $$ \frac{\text{Сторона большого квадрата}}{\text{Сторона малого квадрата}} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{малых квадрата}. $$
• Поскольку большой квадрат двусторонний, то и вдоль другой стороны можно разместить 5 квадратов.
• То есть малые квадраты укладываются в виде сетки $5 \times 5$, всего: $$ 5 \cdot 5 = 25 \, \text{малых квадратов}. $$

1. Учет остатков материала

• Важно убедиться, что весь большой квадрат используется без остатков. Если вдоль каждой стороны большого квадрата малые квадраты укладываются без промежутков, то разрезы ровно покрывают площадь большого квадрата. Проверим: $$ \text{Общая площадь всех малых квадратов} = 25 \cdot 4 = 100 \, \text{см}^2. $$
• Эта площадь полностью совпадает с площадью большого квадрата, что подтверждает, что остатка материала нет.

Подготовив все эти теоретические выкладки, вы сможете перейти к расчетам и окончательному ответу.