Докажи, что в каждой окружности все диаметры делятся центром окружности на 2 равных отрезка.

Чтобы доказать, что в каждой окружности все диаметры делятся центром окружности на два равных отрезка, рассмотрим основные свойства окружности и ее элементов.

Теоретическая база

1. Определение окружности и ее центра:

   • Окружность — это множество точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки. Эта фиксированная точка называется центром окружности.
   • Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности называется радиусом.

2. Определение диаметра:

   • Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр всегда состоит из двух радиусов, лежащих на одной прямой.

3. Свойства диаметра:

   • Диаметр — это самая длинная хорда окружности.
   • Центр окружности всегда лежит на диаметре, так как диаметр проходит через эту точку.

4. Радиусы на диаметре:

   • Если центр окружности обозначен как $O$, то диаметр делится на два радиуса: один радиус — от точки $O$ до одной границы диаметра (например, точки $A$), а второй радиус — от точки $O$ до другой границы диаметра (например, точки $B$).
   • Радиусы окружности равны между собой, так как все точки на окружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра.

5. Аксиома деления отрезков:

   • Если точка $O$ делит отрезок $AB$ на две части $OA$ и $OB$, и точки $A$ и $B$ находятся на окружности, то длина $OA$ равна длине $OB$, так как оба являются радиусами.

6. Заключение:

   • Диаметр окружности всегда делится центром $O$ на два равных отрезка, поскольку центр окружности является точкой симметрии окружности относительно диаметра.

Таким образом, из свойств радиуса и центра окружности следует, что любой диаметр окружности делится центром на два одинаковых отрезка.