Выполни деление с остатком и проверь.
457 : 58;
272 : 98;
495 : 46;
385 : 65;
321 : 47.

Для выполнения операции деления с остатком необходимо понимать ключевые концепции деления, остатка и проверки результата.

Теоретическая часть:

1. Что такое деление с остатком?

Деление с остатком — это способ разделить одно число (делимое) на другое число (делитель), когда делимое не делится нацело на делитель. В этом случае результат состоит из двух частей:
− Частное — это целое число, представляющее собой количество полных групп, которые можно составить.
− Остаток — это число, которое остается после того, как все полные группы сформированы.

Операция деления с остатком записывается так:
$$ A : B = Q \text{ и } R, $$
где:
− $ A $ — делимое (число, которое делится),
− $ B $ — делитель (число, на которое делится),
− $ Q $ — частное (результат деления без учёта остатка),
− $ R $ — остаток (часть, которая осталась после деления).

2. Как выполнить деление с остатком?

Шаги:
1. Определите целое частное $ Q $, которое получается при делении $ A $ на $ B $. Для этого необходимо найти максимальное число групп $ B $, которые можно сформировать из $ A $.
2. Найдите остаток $ R $. Остаток вычисляется так:
$$ R = A - Q \times B. $$
3. Проверьте, что остаток $ R $ всегда меньше делителя $ B $. Если $ R \geq B $, значит вычисления выполнены неверно.

3. Пример выполнения деления с остатком:

Допустим, нужно выполнить:
$$ 27 : 5. $$
− Посчитаем целое частное $ Q $: $ 27 \div 5 \approx 5 $ (берём только целую часть).
− Найдём остаток $ R $: $ 27 - 5 \times 5 = 27 - 25 = 2 $.
− Запишем результат: $ 27 : 5 = 5 \text{ и } 2. $

4. Проверка результата:

Чтобы убедиться в правильности деления с остатком, можно использовать обратное действие — умножение и сложение:
$$ A = Q \times B + R. $$
Если при подстановке всех чисел в выражение результат равен исходному делимому $ A $, то вычисления выполнены правильно.

Пример для проверки:
Для $ 27 : 5 = 5 \text{ и } 2 $:
$$ A = 5 \times 5 + 2 = 25 + 2 = 27. $$
Ответ совпадает с исходным делимым, значит деление выполнено верно.

5. Ограничения и правила:

• Делитель $ B $ всегда должен быть больше нуля ($ B > 0 $), так как делить на ноль нельзя.
• Остаток $ R $ всегда должен быть меньше делителя $ B $ ($ R < B $).
• Если $ R = 0 $, это означает, что деление выполнено нацело.

6. Применение результата:

Результат деления с остатком можно применять в задачах, где требуется разделить объекты на группы, определить оставшиеся элементы или проверить делимость числа.

Эти теоретические знания помогут решить задачу, выполняя пошаговые вычисления для каждого деления.