1) Объясни, почему на 2 делится без остатка любое число, в записи которого последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
2) Какой должна быть последняя цифра в записи числа, которое делится без остатка на 5?

Теоретическое объяснение:

1. Почему на 2 делится без остатка любое число, в записи которого последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8?

Делимость чисел на 2 определяется их четностью. Четные числа — это те числа, которые делятся на 2 без остатка.

Рассмотрим, как устроена запись любого числа в десятичной системе. Например, число можно представить в виде:
$$ N = 10A + B, $$
где $ A $ — это целая часть числа, а $ B $ — его последняя цифра (один из чисел: 0, 1, 2, ..., 9).

При делении числа $ N $ на 2 важно, чтобы именно $ B $, последняя цифра числа, делилась на 2. Это связано с тем, что $ 10A $, где $ A $ — любое целое число, всегда делится на 2, так как $ 10 $ — четное число:
$$ 10A \div 2 = 5A. $$
Таким образом, при проверке делимости $ N $ на 2 достаточно проверить делимость его последней цифры $ B $ на 2.

Последняя цифра $ B $ может быть одной из десяти возможных: $ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 $. Из них:
− $ 0 \div 2 = 0 $ — делится на 2,
− $ 2 \div 2 = 1 $ — делится на 2,
− $ 4 \div 2 = 2 $ — делится на 2,
− $ 6 \div 2 = 3 $ — делится на 2,
− $ 8 \div 2 = 4 $ — делится на 2.

Остальные цифры ($ 1, 3, 5, 7, 9 $) при делении на 2 дают остаток, то есть они не являются четными.

Поэтому любое число, последняя цифра которого — $ 0, 2, 4, 6 $ или $ 8 $, делится на 2 без остатка.

1. Какой должна быть последняя цифра в записи числа, которое делится без остатка на 5?

Делимость числа на 5 определяется свойством десятичной системы. Если число делится на 5, то его последняя цифра должна быть либо $ 0 $, либо $ 5 $.

Для объяснения этого свойства снова представим число $ N $ в виде:
$$ N = 10A + B, $$
где $ A $ — целая часть числа, а $ B $ — его последняя цифра.

При делении числа $ N $ на 5, $ 10A $ всегда делится на 5, так как $ 10 \div 5 = 2 $. Это означает, что делимость числа $ N $ на 5 целиком зависит от делимости последней цифры $ B $ на 5.

Последняя цифра $ B $ может быть одной из десяти возможных: $ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 $. Из них:
− $ 0 \div 5 = 0 $ — делится на 5,
− $ 5 \div 5 = 1 $ — делится на 5.

Остальные цифры ($ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 $) при делении на 5 дают остаток и, соответственно, не делятся на 5.

Таким образом, чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть либо $ 0 $, либо $ 5 $.