456 * 803;
605 * 102;
105 * 420;
521 * 180;
(180876 + 251367) : 9;
(580000 − 35410) : 90.

Для решения задач умножения и деления, важно понимать основные математические правила и свойства, которые помогут выполнить вычисления правильно и эффективно. Давайте разберем подробно теоретическую основу.

Умножение чисел

Умножение — это процесс сложения одного числа с самим собой определённое количество раз. Например, $3 \times 4$ означает, что число 3 прибавляется к самому себе 4 раза ($3 + 3 + 3 + 3 = 12$).

1. Правила умножения:

   • Умножение любых двух чисел всегда даёт результат, называемый произведением.
   • Порядок множителей не изменяет результат: $a \times b = b \times a$. Это называется свойством коммутативности.

2. Столбиком: Для больших чисел применяется метод умножения столбиком. Сначала умножают числа по разрядам (единицы, десятки, сотни и т.д.), а затем их результаты складываются. Например:

   • Возьмем $456 \times 803$. Умножаем число 456 на каждую цифру из числа 803, начиная с единиц, затем десятков, затем сотен. Итоги записываем ниже, смещая их на одну позицию вправо.

3. Умножение на ноль: Если одно из множителей равно нулю, то произведение всегда равно нулю.

4. Умножение больших чисел: Чтобы правильно умножить числа с большим количеством цифр, важно соблюдать последовательность действий, аккуратно записывать цифры и переносить остатки.

Деление чисел

Деление — это процесс нахождения, сколько раз одно число (делимое) можно разделить на другое число (делитель). Результат деления называется частным.

1. Правила деления:

   • Деление — это обратное действие умножения. Например, если $4 \times 5 = 20$, то $20 : 5 = 4$.
   • Делить на ноль нельзя, так как операция деления на ноль не определена в математике.

2. Деление с остатком: Если делимое не делится нацело на делитель, то остаётся остаток. Например, $17 : 5 = 3$ и остаток $2$, потому что $3 \times 5 = 15$, а до 17 остаётся ещё $2$.

3. Столбиком: Делить большие числа можно столбиком — метод последовательного деления разрядов:

   • Сначала берётся первая цифра числа (или несколько цифр, если необходимо) и делится на делитель. Если результат меньше делителя, берётся следующая цифра.
   • После каждого шага записывается результат деления (частное), а остаток переносится к следующему разряду.

4. Деление с большим числом: Если делимое содержит много цифр, деление производится по разрядам. Например:

   • Возьмем $(180876 + 251367) : 9$. Сначала выполняется сложение чисел, чтобы найти делимое, а затем это число делится на 9.

Сложение и вычитание

Перед выполнением деления мы часто используем сложение или вычитание для нахождения делимого.

1. Сложение: Сложение — это процесс объединения чисел. Например, $180876 + 251367$ означает, что мы складываем два числа по разрядам.

   • Сложение выполняется по правилам переноса (если сумма цифр одного разряда превышает 9, то остаток переносится в следующий разряд).

2. Вычитание: Вычитание — это процесс нахождения разницы между числами. Например, $580000 - 35410$ означает, что мы отнимаем меньшее число от большего.

   • Если на каком−то разряде не хватает цифры для вычитания, то берётся единица из следующего разряда.

Порядок действий

1. Скобки: Всегда выполняются в первую очередь.
2. Умножение и деление: Выполняются после скобок, перед сложением и вычитанием.
3. Сложение и вычитание: Выполняются в последнюю очередь.

Проверка результата

Чтобы убедиться в правильности вычислений:
1. Проверьте порядок действий.
2. Перепроверьте каждую операцию: сложение, вычитание, умножение или деление.
3. Для умножения можно проверить результат делением обратной операции.