Имеются две деревянные планки длиной 119 см и 35 см. Как разделить их на одинаковые части, не имея под рукой измерительных инструментов? Чему равна длина каждой такой части?

Для решения задачи необходимо понять, какую длину может иметь каждая часть, чтобы обе планки можно было разделить на равные части без использования измерительных инструментов. Это связано с понятием наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел.

Теоретическая часть:

1. Понятие наибольшего общего делителя (НОД):
Наибольший общий делитель двух чисел — это наибольшее число, которое является делителем каждого из этих чисел. Например, НОД чисел 12 и 18 равен 6, потому что 6 — это самое большое число, которое делит и 12, и 18 без остатка.

2. Свойства НОД:
− НОД делится на все остальные общие делители данных чисел.
− Если одно число делится на другое, то НОД этих чисел равен меньшему из них.
− НОД можно найти с помощью разложения чисел на простые множители или с помощью алгоритма Евклида.

3. Разложение чисел на простые множители:
Каждое число можно представить как произведение простых чисел. Простые числа — это такие числа, которые делятся только на 1 и на себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т. д.). Для нахождения НОД мы находим общие простые множители двух чисел, а затем вычисляем произведение этих множителей.

Пример:
Разложим числа 12 и 18 на простые множители:
− 12 = 2 × 2 × 3
− 18 = 2 × 3 × 3
Общие множители: 2 и 3.
НОД(12, 18) = 2 × 3 = 6.

4. Алгоритм Евклида:
Это более быстрый способ нахождения НОД, который не требует разложения чисел на множители. Алгоритм основан на том, что НОД двух чисел равен НОД меньшего числа и остатка от деления большего числа на меньшее.

Шаги алгоритма:
− Делим большее число на меньшее и находим остаток.
− Заменяем большее число на меньшее, а меньшее число — на остаток.
− Повторяем процесс, пока остаток не станет равным 0.
− Когда остаток равен 0, НОД равен последнему ненулевому остатку.

Пример:
Найдём НОД для 119 и 35:
− 119 ÷ 35 = 3 (целая часть), остаток = 119 − 35 × 3 = 14.
− 35 ÷ 14 = 2 (целая часть), остаток = 35 − 14 × 2 = 7.
− 14 ÷ 7 = 2 (целая часть), остаток = 14 − 7 × 2 = 0.
НОД(119, 35) = 7.

5. Деление планок на части:
После нахождения НОД двух чисел, мы получаем длину каждой равной части, на которые можно разделить обе планки. Количество частей для каждой планки будет равно результату деления длины планки на НОД.

Пример расчёта:
Если НОД(длина первой планки, длина второй планки) = $d$, то:
− Количество частей для первой планки = $119 \div d$.
− Количество частей для второй планки = $35 \div d$.

Итак, теоретическая часть позволяет понять, что задача сводится к нахождению наибольшего общего делителя двух чисел — длин планок. После этого обе планки можно разделить на равные части длиной, равной НОД.