Выполни действия.
247 * 300;
59 * 6000;
65 * 8000 : 10000;
80 * 1250 : 1000;
400 * 100 : (2 * 500);
360 * 200 : (25 * 40).

Для решения задач данного типа (арифметические вычисления) нужно понимать основные математические правила и операции, которые используются. В этой теоретической части мы разберем основные принципы умножения и деления, а также правила порядка выполнения операций.

Умножение

1. Определение: Умножение — это операция сложения одного числа (множимого) самого с собой заданное количество раз (определяемое вторым числом — множителем). Например, $ 3 \times 4 $ означает, что число $ 3 $ складывается с собой $ 4 $ раза.

2. Умножение на круглые числа: Если одно из чисел, участвующих в умножении, является круглым (например, 100, 1000, 300 и т. д.), можно упростить вычисления. Круглые числа имеют специальные свойства:

   • Умножая на 10, 100, 1000 и т. д., достаточно добавить соответствующее количество нулей к другому числу. Например: $$ 247 \times 100 = 24700 $$
   • Если число не круглое, умножение проводится по правилам столбика или распределительного закона.

3. Распределительный закон умножения (для упрощения вычислений):
   Если нужно умножить число на сумму двух чисел, то можно умножить это число на каждое слагаемое, а затем сложить результаты. Например:
   $$ 247 \times (300 + 2) = (247 \times 300) + (247 \times 2) $$

Это помогает разбивать сложные множители на более простые для вычислений.

Деление

1. Определение: Деление — это операция нахождения числа, которое при умножении на делитель дает делимое. Например:
   $$ 12 \div 3 = 4 $$
   так как $ 4 \times 3 = 12 $.

2. Деление на круглые числа: Если число делится на 10, 100, 1000 и т. д., можно просто убрать соответствующее количество нулей справа. Например:
   $$ 1250 \div 1000 = 1.25 $$

3. Проверка делимости: Перед выполнением деления полезно проверить, делится ли число на делитель без остатка. Например, делимость на $ 5 $ означает, что число оканчивается на $ 0 $ или $ 5 $.

Порядок выполнения операций

В выражениях, где присутствуют несколько арифметических операций, необходимо соблюдать порядок их выполнения. Этот порядок определяется следующим образом:
1. Сначала выполняются действия внутри скобок.
2. Затем выполняются умножение и деление (слева направо).
3. Последними выполняются сложение и вычитание (слева направо).

Пример:
$$ 400 \times 100 \div (2 \times 500) $$
− Сначала нужно выполнить умножение в скобках: $ 2 \times 500 $.
− Затем умножить $ 400 \times 100 $.
− И, наконец, выполнить деление.

Преобразование сложных выражений

Для удобства вычислений можно преобразовывать выражение и упрощать его:
1. Использовать свойства умножения и деления. Например:
$$ (360 \times 200) \div (25 \times 40) $$
можно сначала найти произведения чисел, а затем выполнить деление.

1. Проверять возможность сокращения. Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить: $$ (360 \times 200) \div (25 \times 40) = 360 \div 40 \times 200 \div 25 $$

Практические советы

1. Работа с большими числами: Для вычислений с большими числами можно временно пренебречь нулями, выполнить основное умножение или деление, а затем добавить или убрать нужное количество нулей.
   Например:
   $$ 59 \times 6000 = (59 \times 6) \times 1000 $$

2. Проверка результата: После выполнения всех действий полезно перепроверить результат, особенно если в выражении были скобки и несколько операций.

3. Удобное представление: Если числа позволяют, можно записывать их в виде разложения. Например:
   $$ 8000 \div 10000 = \frac{8}{10} = 0.8 $$

Итоговые правила:

• Умножение круглых чисел упрощается добавлением нулей.
• Деление круглых чисел упрощается удалением нулей.
• Соблюдение порядка выполнения операций обязательно.
• Использование распределительного закона умножения помогает разбивать сложные множители.