В зрительном зале маленького театра 100 мест. В день премьеры спектакля все билеты были проданы на общую сумму 1000 р. Билет для мужчин стоил 50 р., для женщин − 20 р., а для детей − 1 р. Сколько мужчин, женщин и детей было на премьере спектакля?

Чтобы подойти к решению задачи, сначала разберем, какие математические концепции и подходы можно использовать для анализа и поиска правильного ответа.

1. Переменные и их обозначения Пусть:
2. $ x $ — количество мужчин, присутствовавших на спектакле.
3. $ y $ — количество женщин, присутствовавших на спектакле.
4. $ z $ — количество детей, присутствовавших на спектакле.

Таким образом, наша задача сводится к определению значений $ x $, $ y $ и $ z $.

1. Составление уравнений В задаче указано два ключевых условия:

• Общее количество зрителей:
  Все места в театре были заняты, а всего их 100. Это означает:
  $$ x + y + z = 100 $$

• Общая стоимость билетов:
  Общая сумма, вырученная за билеты, составила 1000 рублей. Учитывая стоимость билетов (50 рублей для мужчин, 20 рублей для женщин и 1 рубль для детей), можно записать:
  $$ 50x + 20y + z = 1000 $$

1. Преобразование задачи в систему уравнений Итак, мы имеем следующую систему уравнений: $$ x + y + z = 100 $$ $$ 50x + 20y + z = 1000 $$

1. Ограничения на переменные Из контекста задачи видно, что все переменные ($ x $, $ y $, $ z $) должны быть целыми числами и натуральными (поскольку количество людей не может быть отрицательным или дробным). Также нам нужно учитывать:
2. $ x \geq 0 $
3. $ y \geq 0 $
4. $ z \geq 0 $

1. Методы решения системы уравнений Чтобы найти значения $ x $, $ y $, $ z $, можно использовать следующие подходы:

• Метод подстановки:
  Из первого уравнения выразим одну переменную через две другие, например, $ z $:
  $$ z = 100 - x - y $$
  Подставим это выражение во второе уравнение:
  $$ 50x + 20y + (100 - x - y) = 1000 $$
  После упрощения получится уравнение с двумя переменными ($ x $ и $ y $).

• Метод перебора целых чисел:
  Поскольку $ x $, $ y $, $ z $ должны быть целыми, можно использовать метод перебора, который проверяет значения, удовлетворяющие системе уравнений.

1. Анализ коэффициентов Обратим внимание на стоимость билетов: стоимость билета для мужчин значительно выше ($ 50 $) по сравнению с женщинами ($ 20 $) и детьми ($ 1 $). Поэтому $ x $ (количество мужчин) будет относительно меньше, чем $ y $ и $ z $. Аналогично, билет для детей самый дешевый, поэтому $ z $ может быть довольно большим.

1. Целочисленные решения Поскольку система уравнений должна давать целые значения, задача может быть решена с помощью поиска всех возможных комбинаций $ x $, $ y $, $ z $, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Проверяются условия целочисленности и натуральности.

1. Проверка граничных условий
   • $ x $, $ y $, $ z $ должны быть такими, чтобы $ x + y + z = 100 $.
   • $ 50x + 20y + z = 1000 $.
   • Все переменные $ x $, $ y $, $ z $ должны быть положительными и целыми.

1. Вывод и логика решения Задача сводится к нахождению комбинации значений $ x $, $ y $, $ z $ с учетом всех ограничений и условий задачи. Для этого можно воспользоваться методом подстановки, перебора или другим удобным подходом для работы с целыми числами.