Из шести одинаковых кубиков с ребром длиной 3 см сложили фигуру в форме параллелепипеда, как показано на рисунке.

Эту фигуру покрасили со всех сторон синей краской. Какую площадь покрасили?

Для решения задачи необходимо использовать знания о геометрических фигурах, площади поверхности, а также свойства куба и параллелепипеда. Давайте рассмотрим теоретическую часть по этим темам по порядку.

1. Куб: основные свойства.

Куб — это трёхмерная фигура, у которой все грани представляют собой квадраты одинакового размера. Куб обладает следующими свойствами:
− У него 6 граней, каждая из которых квадрат.
− Все ребра куба равны между собой, и длина ребра обозначается, например, как $ a $.
− Площадь одной грани куба равна $ a^2 $ (где $ a $ — длина ребра).
− Полная площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его 6 граней:
$$ S_{\text{поверхности куба}} = 6 \cdot a^2. $$

2. Параллелепипед: основные свойства.

Параллелепипед — это трёхмерная фигура, у которой каждая грань представляет собой прямоугольник. Если параллелепипед составлен из кубиков, его размеры зависят от числа кубиков и их расположения.

Площадь поверхности параллелепипеда рассчитывается как сумма площадей всех его 6 граней. Если длины сторон параллелепипеда обозначить как $ a $, $ b $, и $ c $:
$$ S_{\text{поверхности параллелепипеда}} = 2 \cdot (ab + bc + ac). $$
Где:
− $ ab $ — площадь грани с размерами $ a $ и $ b $,
− $ bc $ — площадь грани с размерами $ b $ и $ c $,
− $ ac $ — площадь грани с размерами $ a $ и $ c $.

3. Покраска поверхности.

Для определения площади покрашенной поверхности нужно учитывать следующее:
− Если фигура состоит из нескольких кубиков, некоторые её части могут быть скрыты внутри конструкции и не покрашены.
− Покраска выполняется только для наружных граней, которые доступны извне.

При сложении нескольких кубиков грани, оказавшиеся внутри конструкции, не участвуют в покраске. Чтобы найти площадь покрашенной поверхности, нужно учитывать только те грани, которые находятся снаружи.

4. Задача: сложение кубиков.

Дано, что фигура складывается из 6 одинаковых кубиков. Каждый кубик имеет ребро длиной $ a = 3 \,\text{см} $. Это позволяет вычислить площадь одной грани кубика:
$$ S_{\text{грани кубика}} = a^2 = 3^2 = 9 \, \text{см}^2. $$
Полная площадь поверхности одного кубика:
$$ S_{\text{поверхности кубика}} = 6 \cdot (9) = 54 \, \text{см}^2. $$

Однако не все грани кубиков будут покрашены. Некоторые грани соприкасаются друг с другом внутри фигуры и не видны. Их площадь нужно исключить из общей площади.

5. Анализ конструкции.

На рисунке показана конструкция, представляющая собой параллелепипед. Для вычисления покрашенной площади нужно учитывать:
− Размеры параллелепипеда (длина, ширина, высота).
− Количество граней, которые находятся снаружи и подлежат покраске.

После нахождения размеров параллелепипеда можно вычислить его площадь поверхности по формуле:
$$ S_{\text{поверхности параллелепипеда}} = 2 \cdot (ab + bc + ac). $$
Затем исключаются внутренние грани кубиков, которые скрыты в конструкции.

6. Итоговое решение.

Чтобы найти площадь покрашенной поверхности, нужно:
1. Определить размеры параллелепипеда, сложенного из кубиков.
2. Вычислить площадь его поверхности.
3. Учесть, какие грани оказались внутри и не покрашены.
4. Вычесть площадь внутренних граней из общей площади поверхности параллелепипеда.

Таким образом, покрашенная площадь будет равна площади тех граней, которые находятся снаружи.