Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы обрезков не осталось. Как это можно сделать? Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи, связанной с разрезанием проволоки, важно понять принципы деления числа на части с помощью целых чисел. Мы будем использовать понятие целочисленного деления, остатка, а также методы проверки решений.

1. Представление задачи Длина проволоки составляет $102 \, \text{см}$, а ее нужно разрезать на части длиной $15 \, \text{см}$ и $12 \, \text{см}$, так чтобы не осталось обрезков. Это означает, что общая длина частей должна быть строго равна $102 \, \text{см}$, и каждая часть будет представлена в виде целого числа разрезов.

Обозначим количество частей длиной $15 \, \text{см}$ как $x$, а количество частей длиной $12 \, \text{см}$ как $y$. Тогда задача состоит в нахождении целых чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют следующему уравнению:

$$ 15x + 12y = 102 $$

где $x \geq 0$ и $y \geq 0$ (так как количество частей не может быть отрицательным).

1. Проверка кратности
   Обратите внимание, что $15x$ и $12y$ — это числа, которые делятся на $3$, так как $15$ и $12$ делятся на $3$. Следовательно, сумма $15x + 12y = 102$ также должна делиться на $3$. Проверим это:
   $$ 102 \div 3 = 34 $$
   Таким образом, уравнение корректно и может иметь решения.

2. Метод поиска целых решений
   Для нахождения всех возможных решений уравнения $15x + 12y = 102$, необходимо учесть следующее:

• $x$ и $y$ — целые числа.
• Значения $x$ и $y$ должны быть такими, чтобы правая часть равенства была равна $102$.

Мы можем преобразовать уравнение следующим образом:
$$ 15x = 102 - 12y $$
Теперь правая часть $102 - 12y$ должна быть делима на $15$, чтобы $x$ оставалось целым числом. Это накладывает ограничения на $y$, так как $12y$ должно быть таким, чтобы $102 - 12y$ делилось на $15$.

1. Поиск ограничения для $y$ Чтобы найти возможные значения $y$, нужно учитывать, что:
   • $y \geq 0$, то есть оно не может быть отрицательным.
   • $12y \leq 102$, так как $12y$ не может превышать длину проволоки.

Из второго условия получаем:
$$ y \leq \frac{102}{12} = 8.5 $$
Так как $y$ — целое число, то $y$ может принимать значения от $0$ до $8$.

1. Проверка делимости
   На каждом шаге при фиксированном $y$ нужно проверять, делится ли $102 - 12y$ на $15$. Если делится, то соответствующее значение $x$ будет целым числом и задача имеет решение для данного $y$.

2. Количество решений
   Количество решений задачи будет равно количеству пар $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению $15x + 12y = 102$. Для этого необходимо перепробовать все целые значения $y$ от $0$ до $8$ и проверить делимость $102 - 12y$ на $15$.

Резюмируем: задача сводится к перебору целых значений $y$ и проверке их на выполнение условия делимости. Для каждого подходящего значения $y$ можно найти $x$ и записать пару $(x, y)$. После этого подсчитывается общее количество таких пар, чтобы определить число решений задачи.