За три рабочие смены фабрика изготовила 1680 м ткани. Первая и вторая смены изготовили вместе 970 м ткани, вторая и третья − 1060 м. Сколько метров ткани изготовила каждая смена?

Чтобы решить задачу, необходимо применить методы работы с уравнениями и систему логических рассуждений, основанных на анализе данных. Разберём теоретическую часть, на которой будет построено решение.

Подход к задаче

1. Определение переменных

   • Задача говорит о трёх сменах, которые изготовили определённое количество ткани. Чтобы удобно работать с данными, обозначим количество метров ткани, изготовленных каждой сменой, переменными:
   • $ x $ — количество метров ткани, изготовленных первой сменой.
   • $ y $ — количество метров ткани, изготовленных второй сменой.
   • $ z $ — количество метров ткани, изготовленных третьей сменой.

2. Составление уравнений

   • На основе условия задачи можно записать три уравнения:
   • $ x + y + z = 1680 $ — общее количество ткани, изготовленной за три смены.
   • $ x + y = 970 $ — количество ткани, изготовленной первой и второй сменами вместе.
   • $ y + z = 1060 $ — количество ткани, изготовленной второй и третьей сменами вместе.

3. Анализ отношений

   • Обратите внимание, что каждое уравнение связывает информацию о двух или трёх переменных. Основная цель — найти значения $ x $, $ y $, и $ z $, которые удовлетворяют всем уравнениям.
   • Используя свойства сложения и вычитания уравнений, можно постепенно исключать одну из переменных, чтобы упростить задачу.

4. Метод решения системы уравнений

   • Система из трёх уравнений с тремя переменными может быть решена разными способами, например:
   • Подстановкой: выразить одну переменную через другие и подставить её в оставшиеся уравнения.
   • Сложением или вычитанием уравнений: производить операции с уравнениями, чтобы сократить количество переменных.
   • Например, из второго уравнения ($ x + y = 970 $) можно выразить $ x $ как $ x = 970 - y $, а потом подставить это выражение в первое уравнение.

5. Проверка результата

   • После того как значения $ x $, $ y $, и $ z $ будут найдены, важно проверить их подстановкой в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они действительно удовлетворяют всем условиям задачи.

6. Пошаговый процесс рассуждения

   • Разложите задачу на понятные шаги. Начните с самого общего уравнения, затем переходите к частным случаям, используя другие уравнения для упрощения вычислений.

Формулы и принципы
− Сложение и вычитание уравнений:
Если $ a = b $ и $ c = d $, то $ a + c = b + d $.
− Подстановка:
Если $ a = b $, то $ b $ можно заменить на $ a $ в другом уравнении.
− Проверка результата:
Убедитесь, что найденные значения переменных удовлетворяют все условия задачи.

Следуя этим теоретическим принципам, можно найти значения $ x $, $ y $, и $ z $.