Мотоциклист в первый день был в пути 5 ч, а во второй − 3 ч. Всего он проехал 416 км. Какое расстояние мотоциклист проезжал каждый день, если он ехал с одинаковой скоростью?

Для решения задачи потребуется понимание нескольких важных математических понятий. Давайте разберем теоретическую базу, которая поможет ее решить.

Формулы для расчета пути, времени и скорости:

1. Формула пути: $ S = v \cdot t $, где:
   • $ S $ — путь (расстояние, которое преодолел мотоциклист),
   • $ v $ — скорость (постоянная скорость, с которой двигался мотоциклист),
   • $ t $ — время (сколько часов мотоциклист был в пути).

Эта формула показывает, что для нахождения пути нужно умножить скорость на время.

1. Формула скорости: $ v = \frac{S}{t} $, где:
   • $ v $ — скорость,
   • $ S $ — путь,
   • $ t $ — время.

Формула позволяет вычислить скорость, если известно расстояние и время движения.

1. Формула времени: $ t = \frac{S}{v} $, где:
   • $ t $ — время,
   • $ S $ — путь,
   • $ v $ — скорость.

Формула дает возможность узнать, сколько времени занимало движение, если известны расстояние и скорость.

Свойства пропорций:

В задаче указано, что мотоциклист двигался с одинаковой скоростью оба дня. Это означает, что расстояние, которое он преодолел за каждый день, пропорционально времени, затраченному на движение.

Если $ t_1 $ — время движения в первый день, а $ t_2 $ — время во второй день, то:
$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{t_1}{t_2}, $$
где:
− $ S_1 $ — расстояние, которое мотоциклист проехал в первый день,
− $ S_2 $ — расстояние второго дня,
− $ t_1 $ и $ t_2 $ — время движения в первый и второй день соответственно.

Сумма расстояний:

Общее расстояние, которое проехал мотоциклист, равно сумме расстояний за два дня:
$$ S_{\text{общ}} = S_1 + S_2, $$
где:
− $ S_{\text{общ}} $ — общее расстояние (416 км в данной задаче),
− $ S_1 $ — расстояние первого дня,
− $ S_2 $ — расстояние второго дня.

Пропорция времени:

Для первого дня время $ t_1 = 5 $ часов, а для второго $ t_2 = 3 $ часа. Следовательно:
$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{3}. $$

Это ключевое соотношение, которое помогает найти $ S_1 $ и $ S_2 $.

Как связать пропорции и общий путь:

С учетом того, что $ S_1 + S_2 = 416 $, можно выразить $ S_1 $ и $ S_2 $ через пропорции. Например:
$$ S_1 = k \cdot 5, $$
$$ S_2 = k \cdot 3, $$
где $ k $ — скорость.

Подставляя в сумму:
$$ 5k + 3k = 416, $$
$$ 8k = 416. $$

Итог:

Для решения задачи нужно:
1. Использовать пропорцию времени $ \frac{5}{3} $,
2. Выразить общий путь $ S_1 + S_2 = 416 $ через пропорции,
3. Найти значение $ k $, которое связано со скоростью.