Построй квадрат ABCD, длина стороны которого равна 3 см. Проведи в нем диагонали и обозначь буквой O точку их пересечения. Начерти окружность с центром в точке O и радиусом OA.

Для решения этой задачи важно хорошо понимать геометрические понятия и основные свойства фигур. Разберем теоретическую часть.

1. Квадрат:
   Квадрат является геометрической фигурой, у которой все стороны равны, а углы прямые (90 градусов). В данном случае длина каждой стороны квадрата равна 3 см.

2. Вершины квадрата:
   Квадрат имеет четыре вершины, которые обозначаются буквами $ A $, $ B $, $ C $, и $ D $, последовательно по часовой стрелке или против часовой стрелки.

3. Диагонали квадрата:
   Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий противоположные вершины. У квадрата есть две диагонали:

   • $ AC $: соединяет вершины $ A $ и $ C $.
   • $ BD $: соединяет вершины $ B $ и $ D $. Диагонали квадрата имеют следующие свойства:
   • Они равны по длине.
   • Пересекаются в одной точке.
   • Пересекаются под прямым углом.
   • Делят друг друга пополам.

4. Точка пересечения диагоналей:
   Точка $ O $, где пересекаются диагонали квадрата, является их общим центром. Эта точка также называется центром квадрата (геометрическим центром).

5. Окружность:
   Окружность — это множество точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от её центра. Эту фиксированную величину называют радиусом окружности.

6. Центр окружности и радиус:
   В данной задаче центр окружности — это точка $ O $, а радиус окружности равен длине отрезка $ OA $. Отрезок $ OA $ — это расстояние от центра квадрата $ O $ до одной из его вершин (например, $ A $).

7. Как найти длину радиуса $ OA $:
   Для нахождения длины радиуса окружности $ OA $ нужно воспользоваться свойствами квадрата и теоремой Пифагора.

   • Диагональ квадрата делится пополам в точке пересечения.
   • Длину диагонали квадрата можно найти с помощью формулы: $$ \text{Длина диагонали} = \sqrt{\text{сторона}^2 + \text{сторона}^2} $$ В данном случае сторона квадрата равна 3 см, поэтому длина диагонали будет равна: $$ \text{Длина диагонали} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \, \text{см}. $$
   • Радиус окружности $ OA $ равен половине длины диагонали, потому что диагонали пересекаются в середине: $$ OA = \frac{\text{Длина диагонали}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \, \text{см}. $$

8. Построение окружности:
   Теперь, имея центр окружности $ O $ и радиус $ OA $, можно нарисовать окружность с помощью циркуля. Установите иглу циркуля в точку $ O $ и откройте циркуль на величину радиуса $ OA $. После этого аккуратно нарисуйте окружность.

Учитывая все эти теоретические аспекты и свойства квадрата, вы сможете выполнить построение фигуры и окружности правильно.