Расшифруй числовой ребус.

(Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными − разные.)

Для решения числового ребуса типа «АБ · ВГ = БББ» необходимо применить знания о цифрах, разрядах в числах и свойствах умножения. Вот подробная теоретическая часть, которая поможет решить подобную задачу:

Теоретические основы:

1. Что такое числовой ребус?

Числовой ребус — это задача, в которой вместо чисел используются буквы или другие символы, обозначающие цифры. Каждая буква представляет одну цифру (от 0 до 9), и одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные — разные.

2. Разрядные числа:

• АБ — это двузначное число, где:
  • А — первая цифра числа (десятки),
  • Б — вторая цифра числа (единицы).
  • Число АБ можно записать как $10 \cdot А + Б$.
• ВГ — это тоже двузначное число, где:
  • В — первая цифра числа (десятки),
  • Г — вторая цифра числа (единицы).
  • Число ВГ можно записать как $10 \cdot В + Г$.
• БББ — это трехзначное число, где:
  • Все цифры одинаковы и равны Б.
  • Число БББ можно записать как $100 \cdot Б + 10 \cdot Б + Б = 111 \cdot Б$.

3. Умножение:

При решении задачи нужно использовать основное свойство умножения: произведение двух чисел равно третьему числу. В ребусе это записано как:
$$ (10 \cdot А + Б) \cdot (10 \cdot В + Г) = 111 \cdot Б. $$

4. Ограничения цифр:

• Так как буквы обозначают цифры (от 0 до 9), то:
  • А, Б, В, Г — целые числа от 0 до 9.
  • Одинаковые буквы равны (например, если БББ, то все три Б равны одной цифре).
  • Разные буквы различны (например, А ≠ Б, если это указано в условии).

5. Анализ диапазона:

• Число БББ — это трехзначное число, следовательно, $Б \geq 1$.
• $АБ$ и $ВГ$ — двузначные числа, следовательно, $А \geq 1$ и $В \geq 1$.

6. Метод подбора:

Для решения числового ребуса обычно применяется метод подбора:
− Выбираются значения для А, Б, В и Г.
− Проверяется, удовлетворяют ли они равенству, соблюдая все ограничения.
− Одинаковые буквы должны обозначать одинаковые цифры.

7. Действия для решения:

1. Выразите числа через их разрядные составляющие: $$ АБ = 10 \cdot А + Б, \quad ВГ = 10 \cdot В + Г, \quad БББ = 111 \cdot Б. $$
2. Запишите равенство: $$ (10 \cdot А + Б) \cdot (10 \cdot В + Г) = 111 \cdot Б. $$
3. Подставьте возможные значения для А, Б, В и Г, проверяя, чтобы:
   • Левое и правое части равенства были равны.
   • Все буквы соответствовали ограничениям (разные буквы — разные цифры, одинаковые — одинаковые).

8. Логика проверки:

• Поскольку результат умножения — трехзначное число БББ, число $Б$ должно быть достаточно маленьким, чтобы $111 \cdot Б$ оставалось трехзначным. Например, $Б \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
• $АБ$ и $ВГ$ должны быть такими, чтобы их произведение давало значение $111 \cdot Б$.

9. Математические свойства:

• $111 \cdot Б$ делится на 111. Это позволяет упростить проверку делимости и подобрать значения $АБ$ и $ВГ$, которые дают нужное произведение.

Используя эти шаги и логику, можно подобрать правильные значения для букв в ребусе.