(Старинная задача.) Послан гонец из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй гонец, и приказано ему проходить в день по 45 верст. На какой день второй гонец догонит первого?
Отмечай на схематическом чертеже цветными карандашами расположение гонцов день за днем. Это поможет тебе решить задачу.

Для того чтобы понять, как решить задачу, важно разобраться с ее математической основой. Давайте разберёмся с теорией, которая поможет вам подойти к решению.

Основные понятия:

1. Скорость — это количество расстояния, которое объект проходит за единицу времени. В данной задаче у нас два гонца, и их скорости заданы:

   • Первый гонец: 40 верст в день.
   • Второй гонец: 45 верст в день.

2. Время — это количество дней, которые нужны, чтобы второй гонец догнал первого.

3. Расстояние — это путь, который проходит каждый гонец за определённое время. Расстояние вычисляется по формуле:
   $$ S = v \cdot t $$
   где $ v $ — скорость, а $ t $ — время.

4. Разница в расстоянии — на момент, когда второй гонец начинает свой путь, первый гонец уже отошёл на определённое расстояние. Зная, что первый гонец проходит 40 верст в день, на момент старта второго гонца первый уже будет на расстоянии 40 верст от Москвы.

5. Догоняние — это момент, когда расстояния, пройденные обоими гонцами, становятся равными. То есть, расстояние, которое прошёл второй гонец, должно быть равно сумме расстояния, которое прошёл первый гонец, и изначальной разницы между ними.

Теоретический подход:

1. Математическая модель:
   • Пусть $ t $ — время (в днях), которое понадобится второму гонцу, чтобы догнать первого, начиная с момента, когда второй гонец начинает свой путь.
   • Расстояние, пройденное вторым гонцом: $ S_2 = 45 \cdot t $.
   • За то же самое время $ t $, первый гонец также продолжает двигаться. Расстояние, которое он прошёл за это время: $ S_1 = 40 \cdot t $.
   • Не забудем, что на момент старта второго гонца первый уже находится на расстоянии 40 верст от Москвы.

Уравнение для догоняния:
$$ S_2 = S_1 + 40 $$
Подставляем формулы для $ S_2 $ и $ S_1 $:
$$ 45 \cdot t = 40 \cdot t + 40 $$

1. Решение уравнения: Это уравнение можно решить, найдя значение $ t $, которое покажет, через сколько дней второй гонец догонит первого.

Схематическое представление на чертеже:

Построение чертежа поможет наглядно понять, как расстояния увеличиваются день за днём.

1. Начало:

   • В первый день первый гонец проходит 40 верст. Второй гонец ещё не начал движение, поэтому его положение пока в Москве.

2. Второй день (когда второй гонец начинает движение):

   • Первый гонец проходит ещё 40 верст, оказываясь на расстоянии 80 верст от Москвы.
   • Второй гонец начинает движение и проходит 45 верст.

3. Последующие дни:

   • На каждом следующем дне расстояния, пройденные гонцами, добавляются к их предыдущему положению.
   • Разница между их текущим положением постепенно сокращается, так как скорость второго гонца больше.

4. Чертёж:

   • Начертите ось, представляющую расстояние, с равномерными делениями (например, 40, 80, 120 и т.д.).
   • Разными цветами изобразите положение первого и второго гонца день за днём.
   • Каждый день отмечайте, где находится первый гонец (прибавляя 40 верст), и где находится второй гонец (прибавляя 45 верст).
   • Обратите внимание на день, когда метки для обоих гонцов совпадут.

Вывод:

После выполнения всех шагов и построения чертежа, вы сможете определить, на какой день второй гонец догонит первого. Обратите внимание на то, что уравнение и наглядный чертёж должны привести к одному и тому же результату. Удачи в решении!