Длина одной стороны равнобедренного треугольника равна 28 см, а его периметр равен 80 см. Найди длины двух сторон треугольника. Сколько решений имеет задача?

Чтобы решить задачу, сначала разберем теоретические основы, которые помогут понять, как подходить к подобным задачам.

Что такое равнобедренный треугольник?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны между собой. Эти стороны называются боковыми. Третья сторона, которая отличается от боковых, называется основанием. В равнобедренном треугольнике также равны углы при основании.

Что такое периметр треугольника?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Если обозначить стороны треугольника через $a$, $b$, и $c$, то периметр вычисляется как:

$$ P = a + b + c $$

Где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $P$ — его периметр.

Как связаны стороны в равнобедренном треугольнике и периметр?

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Пусть их длина равна $b$, а длина основания (третьей стороны) — $a$. Тогда формула для периметра равнобедренного треугольника принимает вид:

$$ P = b + b + a = 2b + a $$

Алгоритм решения задачи:

1. Понимание условий задачи:

   • Из условия известно, что одна из сторон треугольника имеет длину $28$ см.
   • Также дано, что периметр треугольника равен $80$ см.
   • Нужно найти длины двух других сторон треугольника.

2. Определение структуры треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Из условия не указано, какая из сторон равна $28$ см: это может быть либо боковая сторона, либо основание.
   • Поэтому в задаче возможны два варианта:
   • $b = 28$ см (боковая сторона равна 28 см).
   • $a = 28$ см (основание равно 28 см).

3. Запись формулы периметра:
   В обоих случаях используется формула периметра равнобедренного треугольника:
   $$ P = 2b + a $$
   Подставляем известное значение $P = 80$ и рассматриваем два случая.

4. Анализ обоих случаев:

   • Если $b = 28$ (боковая сторона), то в формуле: $$ 80 = 2 \cdot 28 + a $$ Здесь можно найти $a$, длину основания.
   • Если $a = 28$ (основание), то в формуле: $$ 80 = 2b + 28 $$ Здесь можно найти $b$, длину боковой стороны.

5. Проверка решения:
   После вычисления сторон необходимо проверить, выполняются ли условия задачи. Например:

   • Все стороны должны быть положительными числами.
   • Стороны треугольника должны удовлетворять неравенству треугольника. Это означает, что сумма любых двух сторон должна быть больше третьей: $$ b + b > a, \quad b + a > b, \quad a + b > b $$

6. Определение количества решений задачи:

   • Задача может иметь одно или два решения, в зависимости от того, удовлетворяют ли оба случая условиям задачи (неравенству треугольника).

Итоговые выводы:

Для решения задачи нужно:
1. Рассмотреть оба возможных случая для равнобедренного треугольника.
2. Использовать формулу периметра и выполнить соответствующие вычисления.
3. Проверить, удовлетворяют ли найденные стороны условиям задачи (включая неравенство треугольника).
4. Оценить количество решений задачи.

Задачу можно решать дальше, подставляя числа и вычисляя значения, но важно сначала понять теоретическую базу, которая была изложена выше.