В гостиницу приехали 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 туристов знали немецкий язык и 83 туриста знали французский. Сколько туристов знали оба языка: французский и немецкий?

Для решения такой задачи важно разобрать и понять, как использовать математические понятия, включая множества, их пересечение, а также формулы для подсчета количества элементов в множествах. Эти понятия упрощают решение задач, связанных с группами объектов, имеющими общие или отличающиеся характеристики.

Когда мы говорим о туристах, знающих определенные языки, мы можем представить их как группы (множества). Например, туристы, знающие немецкий язык, образуют одно множество, а туристы, знающие французский язык, образуют другое множество. Некоторые туристы могут принадлежать сразу к двум множествам, если они знают оба языка.

Основные математические понятия:

1. Множества:

   • Множество — это группа объектов, объединенных какой−либо общей характеристикой. В данной задаче множество туристов, знающих немецкий язык, обозначается как $ A $, а множество туристов, знающих французский язык, обозначается как $ B $.

2. Пересечение множеств:

   • Пересечение множеств $ A $ и $ B $ обозначается как $ A \cap B $ и означает группу объектов, которые принадлежат одновременно и множеству $ A $, и множеству $ B $. В нашей задаче это туристы, которые знают оба языка: немецкий и французский.

3. Формула для подсчета количества элементов в объединении двух множеств:

   • Если известно количество элементов в двух множествах и в их пересечении, то можно использовать следующую формулу: $$ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|, $$ где $ |A| $ — количество элементов в множестве $ A $, $ |B| $ — количество элементов в множестве $ B $, $ |A \cap B| $ — количество элементов в пересечении множеств $ A $ и $ B $, а $ |A \cup B| $ — количество элементов в объединении множеств $ A $ и $ B $.

4. Дополнительная информация:

   • В задаче указано, что есть туристы, которые не знают ни немецкого, ни французского языка. Это значит, что они не входят ни в множество $ A $, ни в множество $ B $. Если известно общее количество туристов и количество тех, кто не принадлежит к этим множествам, можно вычислить $ |A \cup B| $ — количество туристов, которые знают хотя бы один из языков.

Пошаговое рассуждение:

1. Общее количество туристов:

   • В задаче указано, что всего приехало 100 туристов.

2. Количество туристов, не знающих ни одного языка:

   • Из этих 100 туристов, 10 человек не знают ни немецкого, ни французского языка. Это значит, что они не входят ни в множество $ A $, ни в множество $ B $.

3. Количество туристов, знающих хотя бы один язык:

   • Если 10 туристов не знают ни одного языка, то остальные $ 100 - 10 = 90 $ человек знают хотя бы один язык (или немецкий, или французский, или оба). Это и есть $ |A \cup B| $.

4. Количество туристов, знающих немецкий и французский языки:

   • Чтобы найти это количество, нужно использовать формулу для объединения множеств: $$ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|, $$ где:
   • $ |A \cup B| = 90 $ — количество туристов, знающих хотя бы один язык,
   • $ |A| = 75 $ — количество туристов, знающих немецкий язык,
   • $ |B| = 83 $ — количество туристов, знающих французский язык,
   • $ |A \cap B| $ — количество туристов, знающих оба языка, которое нужно найти.

5. Перестановка формулы:

   • Чтобы вычислить $ |A \cap B| $, нужно выразить его из формулы: $$ |A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|. $$

6. Подстановка известных значений:

   • Подставляем значения $ |A| $, $ |B| $, и $ |A \cup B| $ в формулу и решаем уравнение, чтобы найти $ |A \cap B| $.

Итог:

После выполнения всех шагов можно определить, сколько туристов знают оба языка (немецкий и французский).