На столе лежит 10 пронумерованных мешочков, в каждом из которых лежит 10 золотых монет. В одном из мешочков все монеты фальшивые . Масса настоящей монеты равна 10 г, а масса фальшивой − 9 г. Как с помощью весов со шкалой в граммах определить, в каком из мешочков находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? (Весы могут взвешивать груз, масса которого не более 750 г.)

Для решения данной задачи используется метод математического взвешивания. Теоретически задача основывается на следующем принципе:

Разделение объектов для идентификации

Когда мы имеем несколько объектов (в данном случае мешочки) и требуется определить, какой из них отличается по определённому критерию (в данном случае по массе монет), важно использовать не столько количество взвешиваний, сколько структуру взвешивания. Задача решается одним взвешиванием благодаря умелому выбору монет для взвешивания.

Условие задачи

1. Каждый мешочек содержит 10 монет.
2. Масса настоящей монеты равна 10 г.
3. Масса фальшивой монеты равна 9 г.
4. Один мешочек содержит только фальшивые монеты.
5. Использовать весы можно только один раз.

Алгоритм выбора монет

Для решения задачи применяется метод взвешивания с использованием уникальных идентификаторов в виде количества монет, взятых из каждого мешочка. Этот метод позволяет закодировать мешочки в числовую систему, где каждая группа монет из мешочка играет роль уникального веса.

1. Нумерация мешочков: мешочки уже пронумерованы от 1 до 10.
2. Отбор монет: из каждого мешочка выбирается определённое количество монет, соответствующее номеру мешочка:
   • из первого мешочка берётся 1 монета,
   • из второго мешочка — 2 монеты,
   • из третьего мешочка — 3 монеты,
   • и так далее, вплоть до десятого мешочка, из которого берутся 10 монет.
3. Таким образом, общее количество монет для взвешивания составит: $ 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot (10 + 1)}{2} = 55 $ монет.

Теоретическое обоснование

Если все монеты настоящие, то масса 55 монет составит $ 55 \cdot 10 = 550 \, \text{г} $. Однако, если один мешочек содержит фальшивые монеты, его монеты внесут недостающую массу. Каждая фальшивая монета весит на $ 1 \, \text{г} $ меньше, чем настоящая. Таким образом, недостача массы будет равна $ N \cdot 1 \, \text{г} $, где $ N $ — количество монет, взятых из мешочка с фальшивыми монетами.

Уникальная масса для каждого мешочка

Так как из мешочков берётся разное количество монет:
− если мешочек 1 содержит фальшивые монеты, недостача массы будет $ 1 \, \text{г} $,
− если мешочек 2 содержит фальшивые монеты, недостача массы будет $ 2 \, \text{г} $,
− если мешочек 3 содержит фальшивые монеты, недостача массы будет $ 3 \, \text{г} $, и так далее.

Недостающая масса однозначно указывает на номер мешочка.

Практическая реализация

После взвешивания суммарной массы монет:
− Если масса составляет $ 550 - X $ граммов, где $ X $ — недостающая масса, то номер мешочка с фальшивыми монетами равен $ X $.