Выполни деление с остатком и сделай проверку.
83 : 6;
67 : 9;
54 : 16;
70 : 12.

Деление с остатком — это математическая операция, которая используется для нахождения целой части результата и остатка, если делимое не делится на делитель без остатка. Эта операция применяется в тех случаях, когда делимое больше делителя, но не является его точным кратным.
Давайте рассмотрим теоретическую основу деления с остатком.

Теория деления с остатком

1. Определение:
   Деление с остатком — это операция, при которой мы делим одно число (делимое) на другое число (делитель) и определяем два результата:

   • Частное — целая часть результата деления.
   • Остаток — число, которое остается после того, как мы разделим делимое на делитель максимально возможно с целым результатом. Остаток всегда меньше делителя.

2. Формула:
   Если мы делим число $ a $ на число $ b $, то результат записывается как:
   $$ a = b \cdot q + r, $$
   где:

   • $ a $ — делимое;
   • $ b $ — делитель;
   • $ q $ — частное (целая часть результата деления);
   • $ r $ — остаток.

3. Условия:
   Остаток $ r $ всегда должен быть меньше делителя $ b $. То есть:
   $$ 0 \leq r < b. $$

4. Алгоритм выполнения деления с остатком:

   • Определите, сколько раз делитель $ b $ можно полностью "поместить" в делимое $ a $. Это и будет целая часть $ q $.
   • Умножьте делитель $ b $ на найденное $ q $ и вычтите результат из делимого $ a $. Полученное значение — это остаток $ r $.

5. Проверка результата:
   Чтобы проверить, правильно ли выполнено деление с остатком, нужно воспользоваться формулой:
   $$ a = b \cdot q + r. $$
   Если равенство выполняется, то деление с остатком выполнено верно.

6. Примеры чисел:
   При делении числа $ 83 $ на $ 6 $, мы ищем:

   • Сколько раз $ 6 $ помещается в $ 83 $ (это частное $ q $).
   • Какой будет остаток $ r $, если $ 6 \cdot q $ вычесть из $ 83 $.

7. Рекомендации:

   • Записывайте промежуточные вычисления, чтобы избежать ошибок.
   • Всегда проверяйте, что остаток меньше делителя.
   • Используйте формулу для проверки результата.

Теперь, зная теорию, можно решать задачи, которые требуют выполнения деления с остатком и проверки результатов.