Начерти в тетради отрезок SL и отметь точку K, как показано на рисунке. Восстанови прямоугольник SKLM по его диагонали SL и вершине K.

Для решения задачи требуется восстановить прямоугольник на основе диагонали и одной из его внешних точек. Чтобы понять, как это сделать, давайте разберём теоретическую часть:

1. Прямоугольник и его свойства:
   Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (по 90°). У него две диагонали, которые пересекаются в центре прямоугольника и делят друг друга пополам. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.

2. Диагональ прямоугольника:
   Диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины прямоугольника. Если мы знаем одну диагональ, то можем восстановить прямоугольник, так как диагональ является осью симметрии данного прямоугольника.

3. Система координат и сетка:
   На рисунке прямоугольная сетка представляет собой систему координат, где расстояние между точками можно измерять в клетках. Это помогает определить координаты точек и их взаимное расположение.

4. Точка вне диагонали:
   В задаче дана точка K, которая является одной из вершин прямоугольника. Она задаёт направление стороны прямоугольника, исходящей из вершины S или L. Задача заключается в том, чтобы найти оставшиеся две вершины прямоугольника (M и противоположную точку к K).

5. Симметрия прямоугольника:
   Вершины прямоугольника расположены симметрично относительно центра диагонали. Если мы знаем одну из вершин (например, K), то с её помощью можем определить противоположную вершину.

6. Алгоритм восстановления прямоугольника:

   • Шаг 1: Определите координаты точек S, L и K на сетке.
   • Шаг 2: Найдите середину диагонали SL. Это точка пересечения диагоналей прямоугольника.
   • Шаг 3: Используйте точку K и её смещение относительно середины диагонали, чтобы найти противоположную вершину прямоугольника (M).
   • Шаг 4: Проверьте симметрию прямоугольника, чтобы найти оставшиеся вершины.
   • Шаг 5: Соедините все точки отрезками, чтобы получить прямоугольник.

7. Работа с координатами:
   Для работы на сетке удобно использовать координаты. Например, если точка S имеет координаты (x₁, y₁), а точка L — (x₂, y₂), то середина диагонали будет вычисляться как:
   $$ \text{Середина диагонали} = \left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right). $$
   После этого можно определить координаты противоположной точки для K, используя правило симметрии.

8. Геометрические построения:
   Если не использовать координаты, то можно выполнить задачу с помощью геометрических построений:

   • Проведите прямую через точку K, перпендикулярную диагонали SL.
   • Найдите точку пересечения этой прямой с противоположной стороной прямоугольника.
   • Постройте прямоугольник, соединяя найденные точки.

Этот теоретический подход позволяет восстановить прямоугольник, используя данные условия задачи.