Сумма длин двух сторон равнобедренного треугольника равна 65 см, а его периметр равен 100 см. Вычисли длины сторон этого треугольника. Рассмотри разные варианты.

Для решения задачи о равнобедренном треугольнике нужно тщательно анализировать его свойства и использовать основные формулы. Разберем теоретическую часть, которая поможет понять, как решать задачу.

1. Равнобедренный треугольник: основные свойства

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а третья сторона (основание) может быть различной.

• Равные стороны называются боковыми сторонами.
• Третья сторона — основание треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Если обозначить длины двух равных сторон через $a$, а длину основания через $b$, то формула периметра равнобедренного треугольника записывается как:
$$ P = a + a + b = 2a + b $$
где $P$ — периметр треугольника.

2. Условия данной задачи

В задаче заданы:
1. Периметр равнобедренного треугольника $P = 100 \, \text{см}$.
2. Сумма длин двух сторон (боковая и основание) $a + b = 65 \, \text{см}$.

Необходимо найти длины сторон треугольника $a$ и $b$, рассматривая возможные варианты.

3. Системы уравнений для определения длин сторон

Для нахождения длин сторон треугольника используются два ключевых условия:
1. Формула периметра: $2a + b = 100$.
2. Условие суммы длин: $a + b = 65$.

Эти два условия составляют систему уравнений:
$$ \begin{cases} 2a + b = 100, \ a + b = 65. \end{cases} $$

4. Метод решения системы уравнений

Чтобы найти $a$ и $b$, нужно решить систему уравнений.

Шаг 1: Выразить одно из неизвестных через другое

Из второго уравнения можно выразить $b$ через $a$:
$$ b = 65 - a $$

Шаг 2: Подставить выражение из второго уравнения в первое

Подставляем $b = 65 - a$ в первое уравнение $2a + b = 100$:
$$ 2a + (65 - a) = 100 $$

После упрощения этого уравнения можно найти значение $a$.

5. Проверка соответствия равнобедренного треугольника

После нахождения значений $a$ и $b$, нужно проверить их на соответствие условиям задачи. В равнобедренном треугольнике:
− $a$ — длина боковой стороны (значение должно быть положительным и больше основания $b$, если $b$ — основание).
− $b$ — длина основания (значение должно быть положительным).

Также следует учесть, что сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны (это называется неравенство треугольника).

6. Разные варианты решения

Решение задачи может дать несколько вариантов длин сторон $a$ и $b$, которые соответствуют условиям задачи. Это связано с тем, что равнобедренный треугольник может быть построен с разными длинами сторон, удовлетворяющими заданным условиям.

7. Итоговая проверка

После нахождения возможных вариантов $a$ и $b$, обязательно выполняется проверка:
1. Удовлетворяют ли найденные длины сторон условиям задачи.
2. Соответствуют ли они основным свойствам треугольника, включая неравенства треугольника:
$$ a + b > a, \quad a + b > b, \quad a + a > b. $$

Используя эту теоретическую базу, можно корректно вычислить длины сторон равнобедренного треугольника для каждого возможного случая.