Могут ли две окружности одинакового радиуса:
1) иметь только две общие точки;
2) иметь только одну общую точку;
3) не иметь общих точек?
Подтверди свои рассуждения с помощью чертежей.

Для решения этой задачи важно понимать взаимное расположение окружностей на плоскости, их радиусы и расстояние между центрами. В математике взаимное расположение двух окружностей определяется именно этими параметрами. Рассмотрим подробно каждый случай.

Теоретическая часть

1. Основные понятия:

   • Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром.
   • Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой её точки.
   • Диаметр — это удвоенный радиус окружности.
   • Центральное расстояние — это расстояние между центрами двух окружностей.

2. Взаимное расположение двух окружностей:
   В зависимости от расстояния между центрами окружностей и их радиусов возможны три основных случая:

   • Окружности пересекаются — они имеют 2 общие точки.
   • Окружности касаются — они имеют 1 общую точку (внешнее или внутреннее касание).
   • Окружности не пересекаются и не касаются — они не имеют общих точек.

3. Определение расстояния между центрами окружностей:
   Обозначим радиус первой окружности как $ R_1 $, радиус второй окружности как $ R_2 $, а расстояние между их центрами как $ d $.

   • Если $ d < |R_1 - R_2| $, окружности находятся одна внутри другой и не имеют общих точек.
   • Если $ d = |R_1 - R_2| $, окружности касаются внутренним образом (1 точка).
   • Если $ |R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2 $, окружности пересекаются (2 точки).
   • Если $ d = R_1 + R_2 $, окружности касаются внешним образом (1 точка).
   • Если $ d > R_1 + R_2 $, окружности не пересекаются (0 точек).

4. Условие задачи:
   В задаче указано, что радиусы двух окружностей равны (пусть $ R_1 = R_2 = R $). Поэтому взаимное расположение окружностей зависит только от расстояния $ d $ между их центрами.

Для окружностей с одинаковыми радиусами:
− $ d < 2R $ → пересечение в 2 точках.
− $ d = 2R $ → внешнее касание в 1 точке.
− $ d > 2R $ → окружности не имеют общих точек.

1. Разбор каждого случая из задачи:
   • Случай 1: Две общие точки. Это возможно, если расстояние между центрами $ d $ меньше удвоенного радиуса ($ d < 2R $). В этом случае окружности пересекаются в двух точках.

• Случай 2: Одна общая точка.
  Это возможно, если расстояние между центрами $ d $ равно удвоенному радиусу ($ d = 2R $). В этом случае окружности касаются внешним образом.

• Случай 3: Нет общих точек.
  Это возможно, если расстояние между центрами $ d $ больше удвоенного радиуса ($ d > 2R $). В этом случае окружности не пересекаются.

1. Чертежи: Чтобы подтвердить рассуждения, важно нарисовать три схемы:
   • Первая схема: две пересекающиеся окружности (будут видны две общие точки).
   • Вторая схема: две окружности, касающиеся внешним образом (1 общая точка).
   • Третья схема: две окружности, которые не пересекаются и не касаются (нет общих точек).

Эти теоретические знания помогут уверенно ответить на поставленные вопросы и обосновать каждый случай.