Начерти в тетради отрезок OM произвольной длины. Можно ли построить окружность с центром в точке O так, чтобы она:
1) пересекала отрезок OM в одной точке;
2) пересекала отрезок OM в двух точках;
3) не пересекала отрезок OM?
Там, где это возможно, сделай рисунок.

Чтобы понять и решить задачу, нужно вспомнить основные определения и свойства, связанные с окружностью, отрезком и их взаимным расположением. Разберем теоретическую базу по частям.

Окружность и ее элементы

1. Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром окружности.
2. Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Все радиусы окружности равны между собой.
3. Диаметр окружности – это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две противоположные точки на окружности. Диаметр равен удвоенному радиусу: $d = 2r$.

Отрезок и его свойства

1. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками, называемыми концами отрезка.
2. Отрезок имеет длину, которая измеряется расстоянием между его концами.

Взаимное расположение окружности и отрезка

Окружность и отрезок могут располагаться относительно друг друга различными способами, в зависимости от длины отрезка, радиуса окружности и их взаимного положения. Возможны три основных случая:
1. Окружность пересекает отрезок в одной точке. Это происходит, когда одна из концов отрезка лежит на окружности, а второй – за ее пределами, либо когда окружность касается отрезка (точка касания – единственная точка пересечения).
2. Окружность пересекает отрезок в двух точках. Это возможно, если отрезок проходит через окружность, и его концы находятся по разные стороны от центра окружности.
3. Окружность не пересекает отрезок. Это происходит, если весь отрезок лежит за пределами окружности и не касается ее.

Условия построения

Для выполнения задачи нужно:
1. Начертить отрезок $OM$ произвольной длины, где $O$ – одна из его концов.
2. Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$, выбирая разные значения радиуса $r$, чтобы проверить каждый из трех случаев.

Теоретический анализ для каждого случая:

1. Пересечение в одной точке. Чтобы окружность пересекала отрезок $OM$ только в одной точке, нужно, чтобы длина отрезка была равна радиусу окружности ($OM = r$). В таком случае точка $M$ будет лежать строго на окружности.

2. Пересечение в двух точках. Для этого условия длина отрезка $OM$ должна быть строго больше радиуса окружности ($OM > r$), а отрезок должен пересекать окружность, проходя через ее внутреннюю область. При этом окружность будет пересекать отрезок в двух точках.

3. Не пересекание. Окружность не будет пересекать отрезок, если весь отрезок лежит вне окружности. Это возможно, если длина отрезка $OM$ меньше радиуса окружности ($OM < r$) или если отрезок $OM$ расположен так, что его продолжение не проходит через окружность.

Заключение

Для каждого из перечисленных случаев нужно выбрать соответствующий радиус окружности и построить рисунок. В результате можно визуально подтвердить теоретические выводы о пересечении окружности и отрезка.