Расстояние от пункта A до пункта B яхта преодолела за 3 ч 20 мин, а расстояние от пункта B до пункта A − за 2 ч 50 мин. В каком направлении течет река: от A к B или от B к A, если известно, что скорость яхты не менялась?

Для решения этой задачи важно понять связь между скоростью течения реки, скоростью яхты и временем, которое яхта затратит на преодоление расстояний. Здесь ключевыми понятиями являются скорость, время и расстояние. Используем формулы и рассуждения для создания теоретической базы.

Основные понятия и формулы:

1. Формула связи между скоростью, временем и расстоянием:
   $$ S = v \cdot t, $$
   где $ S $ — расстояние, $ v $ — скорость, а $ t $ — время. Эта формула также может быть записана в виде:
   $$ v = \frac{S}{t}, $$
   или
   $$ t = \frac{S}{v}. $$

2. Скорость яхты в неподвижной воде:
   Допустим, яхта движется со скоростью $ v_0 $ относительно воды, которая не зависит от направления движения, так как скорость яхты постоянна по условию задачи.

3. Скорость течения реки:
   Пусть скорость течения реки равна $ v_\text{реки} $. Эта скорость добавляется или вычитается из скорости яхты в зависимости от направления движения яхты относительно течения реки.

4. Движение яхты по течению:
   Если яхта движется по течению (в направлении течения реки), её скорость относительно берега будет:
   $$ v_\text{по течению} = v_0 + v_\text{реки}. $$

5. Движение яхты против течения:
   Если яхта движется против течения (против направления течения реки), её скорость относительно берега будет:
   $$ v_\text{против течения} = v_0 - v_\text{реки}. $$

6. Вывод времени в зависимости от скорости и расстояния:
   Время, которое яхта затратит на преодоление расстояния по течению и против течения, можно выразить так:
   $$ t_\text{по течению} = \frac{S}{v_0 + v_\text{реки}}, $$
   $$ t_\text{против течения} = \frac{S}{v_0 - v_\text{реки}}, $$
   где $ S $ — расстояние между пунктами $ A $ и $ B $.

Шаги для анализа:

1. В задаче указано, что яхта затратила разное время на пути $ A \to B $ и $ B \to A $: $ t_{A \to B} = 3 \, \text{ч} \, 20 \, \text{мин} $, а $ t_{B \to A} = 2 \, \text{ч} \, 50 \, \text{мин} $.

   • Переведём время в часы: $ t_{A \to B} = 3 + \frac{20}{60} = 3{,}33 \, \text{ч} $, $ t_{B \to A} = 2 + \frac{50}{60} = 2{,}83 \, \text{ч} $.

2. Скорости яхты в разных направлениях зависят от течения:

   • Если течение направлено от $ A $ к $ B $, то движение $ A \to B $ — это движение по течению, а $ B \to A $ — это движение против течения.
   • Если течение направлено от $ B $ к $ A $, то движение $ A \to B $ — это движение против течения, а $ B \to A $ — движение по течению.

3. Сравнение времени:

   • По условию видно, что $ t_{A \to B} > t_{B \to A} $, то есть путь $ A \to B $ занимает больше времени, чем путь $ B \to A $. Это значит, что скорость яхты на участке $ A \to B $ меньше, чем на участке $ B \to A $.

4. Анализ направления течения:

   • Если $ t_{A \to B} > t_{B \to A} $, то течение направлено от $ B $ к $ A $. Движение $ A \to B $ осуществляется против течения, а движение $ B \to A $ — по течению.

Итоговый вывод:

Чтобы определить направление течения реки, используется разница во времени, затраченном на путь в разные стороны, и анализ скорости яхты относительно берега.