БЛИЦтурнир
а) Таня шла сначала по шоссе a км, а потом по проселку b км. С какой скоростью шла Таня, если весь путь занял t часов?
б) Костя шел лесом a км, а полем на b км больше. Весь путь занял t часов. С какой скоростью шел Костя?
в) Расстояние от села Горшково до деревни Светлая a км, а от деревни Светлая до города в b раз меньше. Грузовик проехал от Горшково до города через деревню Светлая со скоростью v км/ч. Сколько времени ехал грузовик?

Для решения всех частей задачи важно понимать основные математические зависимости между расстоянием, временем и скоростью, а также правила арифметических действий. Давайте подробно разберем каждую часть задачи, теоретически сформулируем шаги решения и необходимые математические принципы.

Основные математические зависимости:

1. Формула пути:
   $ S = v \cdot t $,
   где $ S $ — расстояние, $ v $ — скорость, $ t $ — время.
   Эта формула также позволяет выразить скорость и время:
   $ v = \frac{S}{t} $ и $ t = \frac{S}{v} $.

2. Сложение расстояний:
   Если движение проходит по нескольким участкам, чтобы найти общее расстояние, нужно сложить длины всех участков:
   $ S_{\text{общий}} = S_1 + S_2 + ... + S_n $.

3. Сравнение расстояний:
   Если говорится, что один отрезок пути "в b раз меньше" другого, это означает, что второй отрезок пути равен $ \frac{1}{b} $ от первого:
   $ S_2 = \frac{S_1}{b} $.

4. Скорость в задаче с разными участками:
   Если скорость на разных участках пути не изменяется, то общая скорость определяется по формуле:
   $ v = \frac{S_{\text{общий}}}{t} $.

а) Таня шла сначала по шоссе $ a $ км, а потом по проселку $ b $ км. С какой скоростью шла Таня, если весь путь занял $ t $ часов?

1. Понимание задачи:
   В задаче говорится, что Таня прошла два участка пути: первый по шоссе ($ a $ км), второй по проселку ($ b $ км). Для определения её средней скорости надо знать общее расстояние и время.

2. Формулировка решения:

   • Общее расстояние, пройденное Таней: $ S_{\text{общий}} = a + b $. Это сумма километров, пройденных по шоссе и проселку.

• Средняя скорость Тани: Используем формулу скорости: $ v = \frac{S}{t} $. Подставляем общий путь ($ S_{\text{общий}} $) и время ($ t $). $ v = \frac{a + b}{t} $.

1. Ответ: Формула для скорости Тани будет $ v = \frac{a + b}{t} $.

б) Костя шел лесом $ a $ км, а полем на $ b $ км больше. Весь путь занял $ t $ часов. С какой скоростью шел Костя?

1. Понимание задачи:
   В задаче описано, что Костя прошел два участка: сначала лесом, потом полем. При этом известно, что длина пути по полю больше длины пути по лесу на $ b $ км.

2. Формулировка решения:

   • Расстояние, пройденное Костей по полю: $ S_{\text{поле}} = a + b $. Здесь мы добавляем к длине пути по лесу ($ a $) дополнительное расстояние ($ b $).

• Общее расстояние:
  $ S_{\text{общий}} = S_{\text{лес}} + S_{\text{поле}} $.
  Подставляем:
  $ S_{\text{общий}} = a + (a + b) $.
  Преобразуем:
  $ S_{\text{общий}} = 2a + b $.

• Средняя скорость Кости:
  Используем формулу скорости $ v = \frac{S}{t} $:
  $ v = \frac{S_{\text{общий}}}{t} $.
  Подставляем $ S_{\text{общий}} = 2a + b $:
  $ v = \frac{2a + b}{t} $.

1. Ответ: Формула для скорости Кости будет $ v = \frac{2a + b}{t} $.

в) Расстояние от села Горшково до деревни Светлая $ a $ км, а от деревни Светлая до города в $ b $ раз меньше. Грузовик проехал от Горшково до города через деревню Светлая со скоростью $ v $ км/ч. Сколько времени ехал грузовик?

1. Понимание задачи:
   Грузовик проехал два участка пути: первый — от Горшково до деревни Светлая ($ a $ км), второй — от деревни Светлая до города. При этом второй участок пути ($ S_{\text{второй}} $) меньше первого в $ b $ раз.

2. Формулировка решения:

   • Расстояние от деревни Светлая до города: $ S_{\text{второй}} = \frac{a}{b} $. Здесь мы делим длину первого участка ($ a $) на $ b $, так как второй участок в $ b $ раз меньше.

• Общее расстояние:
  $ S_{\text{общий}} = S_{\text{первый}} + S_{\text{второй}} $.
  Подставляем:
  $ S_{\text{общий}} = a + \frac{a}{b} $.

• Общее время в пути:
  Используем формулу времени $ t = \frac{S}{v} $:
  $ t = \frac{S_{\text{общий}}}{v} $.
  Подставляем $ S_{\text{общий}} = a + \frac{a}{b} $:
  $ t = \frac{a + \frac{a}{b}}{v} $.

• Упрощение выражения:
  Чтобы сложить $ a $ и $ \frac{a}{b} $, приводим их к общему знаменателю:
  $ a + \frac{a}{b} = \frac{ab}{b} + \frac{a}{b} = \frac{ab + a}{b} $.
  Подставляем в формулу времени:
  $ t = \frac{\frac{ab + a}{b}}{v} $.
  Упрощаем:
  $ t = \frac{ab + a}{b \cdot v} $.
  $ t = \frac{a(b + 1)}{b \cdot v} $.

1. Ответ: Формула для времени, которое грузовик затратил на путь, будет: $ t = \frac{a(b + 1)}{b \cdot v} $.

Теперь все важные формулы и шаги для решения задачи готовы.