Найди частное и остаток при делении:
а) числа 14 на число 5;
б) числа 6 на число 3;
в) числа 2 на число 3.
Обоснуй свой ответ, пользуясь формулой деления с остатком.

Для решения задачи на нахождение частного и остатка при делении мы будем пользоваться основными понятиями и правилом деления с остатком. Приведу подробное объяснение.

Основные понятия деления с остатком:

1. Делимое (a): Это число, которое нужно разделить. Например, в выражении $ 14 \div 5 $, числом, которое делится, будет 14.
2. Делитель (b): Это число, на которое делят. Например, в выражении $ 14 \div 5 $, числом, на которое делят, будет 5.
3. Частное (q): Это результат деления, показывающий, сколько раз делитель помещается в делимое. Частное всегда должно быть целым числом, так как мы говорим о делении с остатком.
4. Остаток (r): Это часть делимого, которая остаётся после выполнения деления и не может быть равномерно разделена на делитель. Остаток всегда меньше делителя.

Формула деления с остатком:

Для любого делимого $ a $, делителя $ b $, частного $ q $ и остатка $ r $, выполняется следующее равенство:

$$ a = b \cdot q + r, $$

где:
− $ a $ — делимое,
− $ b $ — делитель,
− $ q $ — частное,
− $ r $ — остаток.

Свойства остатка:
1. Остаток всегда меньше делителя. То есть $ 0 \leq r < b $.
2. Если остаток равен 0, это значит, что делимое делится на делитель нацело.

Пошаговое решение задачи:

Для нахождения частного и остатка при делении числа $ a $ на число $ b $:
1. Определяем, сколько раз делитель ($ b $) может "уместиться" в делимом ($ a $). Это число и будет частным ($ q $).
2. Умножаем делитель ($ b $) на частное ($ q $) и вычитаем из делимого ($ a $) произведение $ b \cdot q $. Результат — это остаток ($ r $).
3. Проверяем, что остаток ($ r $) удовлетворяет условиям $ 0 \leq r < b $. Если это так, результат верен.

Пример рассуждения:
а) Деление числа 14 на 5.
− Делимое ($ a $) = 14.
− Делитель ($ b $) = 5.
− Нужно найти частное ($ q $) и остаток ($ r $).
− Проверяем, сколько раз 5 помещается в 14: это число 2, потому что $ 5 \cdot 2 = 10 $, а $ 10 \leq 14 $, но $ 5 \cdot 3 = 15 $, а $ 15 > 14 $.
− Остаток $ r $ находим вычитанием: $ r = 14 - 10 = 4 $.
− Проверяем: $ 0 \leq r < b $, то есть $ 0 \leq 4 < 5 $ — верно.

Для остальных пунктов задачи аналогично:

б) Деление числа 6 на 3.
в) Деление числа 2 на 3.

Зная общую теорию, можно найти частное и остаток, применяя формулу деления с остатком.