Запиши формулу зависимости между делимым a, делителем b, частным c и остатком r при делении с остатком. Сравни в этой формуле значения остатка r и делителя b.
a = ☐ * ☐ + ☐, r☐b.

Для того чтобы понять формулу зависимости между делимым $ a $, делителем $ b $, частным $ c $ и остатком $ r $ при делении с остатком, важно рассмотреть базовые принципы арифметического деления. Вот теоретическая часть объяснения:

Структура деления с остатком

Когда мы делим одно число $ a $ на другое $ b $, результат деления может быть представлен двумя частями:
1. Частное $ c $: Это целое число, которое показывает, сколько раз $ b $ помещается в $ a $ без превышения.
2. Остаток $ r $: Это число, которое остается после того, как максимально возможное количество $ b $ было вычтено из $ a $.

Деление с остатком можно записать в виде формулы:
$$ a = b \cdot c + r, $$
где:
− $ a $: делимое — число, которое мы делим.
− $ b $: делитель — число, на которое мы делим.
− $ c $: частное — результат деления в виде целого числа.
− $ r $: остаток — то, что остается после деления.

Условия для остатка $ r $

При делении с остатком остаток $ r $ всегда удовлетворяет следующим условиям:
1. Остаток $ r $ должен быть меньше делителя $ b $, так как если остаток будет равен или больше $ b $, это будет означать, что делитель помещается в делимое еще один раз. Таким образом, условие записывается как:
$$ r < b. $$
2. Остаток $ r $ всегда является неотрицательным числом (то есть, $ r \geq 0 $).

Анализ формулы и сравнение $ r $ и $ b $

В формуле $ a = b \cdot c + r $:
− Значение остатка $ r $ связано с делителем $ b $; оно показывает "неполное количество", которое осталось после того, как мы вычли максимально возможное количество $ b $ из $ a $.
− Остаток $ r $ никогда не может равняться или превышать $ b $, иначе это будет означать, что делитель $ b $ может быть вычтен ещё один раз.
− Таким образом, для $ r $ всегда выполняется условие:
$$ r < b. $$

Применение формулы

Эта формула и условие для остатка являются основой для выполнения деления с остатком. В задачах на деление с остатком необходимо:
1. Найти частное $ c $, которое представляет количество полных делений.
2. Определить остаток $ r $, который остается после выполнения деления.

Таким образом, итоговая формула деления с остатком выглядит следующим образом:
$$ a = b \cdot c + r, \quad r < b. $$