Игорь решил примеры на деление с остатком и записал их так:
53 : 7 = 6 (ост.11)
39 : 8 = 4 (ост.5)
Правильно ли он выполнил вычисления? Обоснуй свой ответ.

Для решения этой задачи важно понимать, как выполняются вычисления при делении с остатком, и какие условия должны быть выполнены, чтобы запись была верной. Давайте разберем это детально.

1. Что такое деление с остатком? Деление с остатком используется, когда одно число (делимое) не делится на другое число (делитель) нацело. В таком случае мы находим:
   • Частное, которое указывает, сколько раз делитель полностью помещается в делимое.
   • Остаток, который представляет собой то, что остается от делимого после вычитания всех возможных полных частей делителя.

Например, в выражении $53 : 7$:
− Число 53 — это делимое.
− Число 7 — это делитель.
− Частное (сколько раз 7 помещается в 53) и остаток (что остается после вычитания произведения частного и делителя из делимого) должны быть определены.

1. Условия деления с остатком. Для записи $a : b = c \, (\text{ост. } r)$, где:
   • $a$ — делимое,
   • $b$ — делитель ($b > 0$),
   • $c$ — частное,
   • $r$ — остаток, должны быть выполнены следующие условия:

• Условие 1: $a = b \cdot c + r$. Это значит, что если мы умножим делитель на частное и прибавим остаток, то получим делимое.
• Условие 2: $0 \leq r < b$. Остаток всегда должен быть больше или равен 0 и меньше, чем делитель.

Если эти условия выполнены, то запись деления с остатком является верной. Если хотя бы одно из условий нарушено, то запись неверна.

1. Алгоритм проверки примера на деление с остатком. Чтобы проверить, правильно ли выполнено деление с остатком, следуем таким шагам:

• Шаг 1: Проверяем первое условие: $a = b \cdot c + r$. Подставляем значения $a$, $b$, $c$, $r$ из записи и проверяем равенство.
• Шаг 2: Проверяем второе условие: $0 \leq r < b$. Убеждаемся, что остаток $r$ больше или равен нулю и меньше делителя $b$.

1. Применение теории к задаче. Для каждой записи, данной в задаче, анализируем оба условия:
   • Для $53 : 7 = 6 \, (\text{ост. } 11)$:
   • Проверяем, выполняется ли $53 = 7 \cdot 6 + 11$.
   • Проверяем, выполняется ли $0 \leq 11 < 7$.
   • Для $39 : 8 = 4 \, (\text{ост. } 5)$:
   • Проверяем, выполняется ли $39 = 8 \cdot 4 + 5$.
   • Проверяем, выполняется ли $0 \leq 5 < 8$.

На основании этих проверок можно сделать вывод, правильно ли Игорь выполнил вычисления в каждом из примеров.

Эти шаги помогут решить задачу и дать обоснованный ответ.