Найди частное и остаток при делении чисел. Сделай проверку:
а) 81580 : 9;
б) 672043 : 8;
в) 402600 : 5;
г) 1218046 : 6.

Для решения задачи на нахождение частного и остатка при делении чисел необходимо рассмотреть основные понятия и методы выполнения подобных вычислений. Давайте разберем теоретическую часть.

1. Понятия деления, частного и остатка

• Деление — это арифметическая операция, обратная умножению. При делении одного числа на другое мы определяем, сколько раз второе число (делитель) помещается в первое число (делимое).

Формально, если $ a $ — делимое, $ b $ — делитель, то деление записывается как $ a : b $.

• Частное — это результат деления двух чисел, то есть сколько раз делитель полностью укладывается в делимом.

• Остаток — это часть делимого, которая остается, если делимое не делится на делитель нацело (т.е. с остатком). Остаток всегда меньше делителя.

Связь всех этих понятий выражается формулой:
$$ a = b \cdot q + r, $$
где:
− $ a $ — делимое,
− $ b $ — делитель ($ b \neq 0 $),
− $ q $ — частное,
− $ r $ — остаток ($ 0 \leq r < b $).

2. Алгоритм нахождения частного и остатка

Для деления чисел с нахождением частного и остатка применяется следующий алгоритм:

1. Выполняем деление «уголком» или столбиком.
2. Определяем частное $ q $ — это целая часть результата деления. Дробная часть, если она есть, отбрасывается.
3. Вычисляем остаток $ r $ с помощью обратной операции: $$ r = a - b \cdot q. $$
4. Проверяем, что остаток $ r $ меньше делителя $ b $: $$ r < b. $$

3. Проверка результата

Чтобы убедиться, что частное и остаток найдены правильно, используем формулу для проверки:
$$ a = b \cdot q + r, $$
где:
− $ a $ — делимое,
− $ b $ — делитель,
− $ q $ — частное,
− $ r $ — остаток.

Если левая и правая части равны, то результат деления найден верно.

4. Пример выполнения деления "уголком"

Рассмотрим пример: $ 81580 : 9 $.

1. Выполняем деление уголком:

   • Проверяем, делится ли первая цифра делимого ($ 8 $) на $ 9 $. Не делится, берём две цифры ($ 81 $).
   • $ 81 : 9 = 9 $. Записываем $ 9 $ в частное.
   • Умножаем $ 9 \cdot 9 = 81 $, вычитаем из $ 81 $, остаток $ 0 $.

2. Переходим к следующей цифре делимого ($ 5 $):

   • $ 5 : 9 = 0 $. Записываем $ 0 $ в частное.
   • Остаток $ 5 $ переходит на следующую цифру ($ 50 $).

3. Продолжаем деление дальше до конца числа.

4. В результате получаем частное $ q $ и остаток $ r $.

5. Особые случаи

• Если делимое делится нацело на делитель (остаток $ r = 0 $), то результат деления — только частное $ q $, а остаток отсутствует.
• Если делимое меньше делителя ($ a < b $), то частное равно $ 0 $, а остаток равен самому делимому.

6. Применение теории к задаче

Каждое из чисел в задании ($ 81580, 672043, 402600, 1218046 $) делится на своё собственное число−делитель ($ 9, 8, 5, 6 $), с использованием описанного алгоритма. После нахождения частного и остатка необходимо выполнить проверку с помощью формулы:
$$ a = b \cdot q + r. $$