Площадь прямоугольника равна 56 $м^2$, а ширина − 4 м. Найди площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

Для решения этой задачи используются понятия площади, периметра и связи между сторонами геометрических фигур. Давайте разберём теоретические аспекты, которые помогут в её решении.

1. Площадь прямоугольника

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые. Формула для вычисления площади прямоугольника:
$$ S = a \cdot b, $$
где $ S $ — площадь, $ a $ и $ b $ — длина и ширина прямоугольника соответственно.

Если известна площадь $ S $ и одна из сторон прямоугольника ($ b $, например), то другую сторону ($ a $) можно найти, выразив её из формулы:
$$ a = \frac{S}{b}. $$

2. Периметр прямоугольника

Периметр фигуры — это сумма длин всех её сторон. Для прямоугольника формула периметра выглядит так:
$$ P = 2 \cdot (a + b), $$
где $ P $ — периметр, $ a $ и $ b $ — длина и ширина прямоугольника.

Если известны одна сторона ($ b $) и периметр $ P $, то можно найти другую сторону:
1. Из формулы выражаем $ a + b $:
$$ a + b = \frac{P}{2}. $$
2. Затем, зная $ b $, найдём $ a $:
$$ a = \frac{P}{2} - b. $$

3. Квадрат: определение, свойства площади и периметра

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Пусть сторона квадрата равна $ x $. Тогда:
− Формула для площади квадрата:
$$ S = x^2, $$
где $ S $ — площадь квадрата, $ x $ — длина его стороны.
− Формула для периметра квадрата:
$$ P = 4 \cdot x, $$
где $ P $ — периметр квадрата.

Если известен периметр квадрата, то его сторону $ x $ можно найти, выразив её из формулы:
$$ x = \frac{P}{4}. $$

4. Связь между периметрами и площадями фигур

В задаче сказано, что периметр квадрата равен периметру прямоугольника. Это позволяет сначала вычислить периметр прямоугольника, а затем, зная, что периметры равны, найти сторону квадрата. После нахождения стороны квадрата можно вычислить его площадь.

Пошаговый план решения задачи

1. Используем формулу площади прямоугольника $ S = a \cdot b $, чтобы найти длину прямоугольника $ a $, зная его площадь $ S = 56 \, \text{м}^2 $ и ширину $ b = 4 \, \text{м} $.
2. Находим периметр прямоугольника по формуле $ P = 2 \cdot (a + b) $.
3. Переходим к квадрату. Используем информацию, что периметры прямоугольника и квадрата равны ($ P_{\text{прямоугольника}} = P_{\text{квадрата}} $), и находим сторону квадрата $ x $ по формуле $ x = \frac{P}{4} $.
4. Вычисляем площадь квадрата с помощью формулы $ S = x^2 $.

Эти теоретические шаги полностью описывают подход к решению данной задачи, обеспечивая последовательность действий и используемые формулы.