Старинная задача
Крестьянин пришел к царю и попросил: "Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада".
Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе есть только одни ворота, и около каждых ворот стоит сторож.
Когда крестьянин проходил мимо первого сторожа, то сказал ему:
"Возьми яблоки, но при выходе отдашь мне половину яблок, которые у тебя будут, и еще одно". То же сказали ему и другие сторожа, охранявшие ворота.
Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы, отдав положенные части трем сторожам, унести домой одно яблоко?

Для того чтобы решить эту задачу, необходимо проанализировать и понять её структуру. Эта задача включает понятие обратных расчётов и умение работать с дробями. Рассмотрим все теоретические аспекты, которые помогут подойти к её решению.

1. Анализ условий задачи.

• Крестьянин входит в сад и берёт какое−то количество яблок. Назовем это количество $ x $.
• По мере прохождения через каждый из трёх заборов, он отдает половину оставшихся яблок плюс одно яблоко сторожу.
• В итоге, после прохождения всех трёх заборов, у крестьянина остаётся ровно одно яблоко.

Задача заключается в том, чтобы определить, сколько яблок $ x $ крестьянин должен взять первоначально.

2. Стратегия решения задачи.

Задача решается с конца, то есть обратным ходом. Мы начинаем с того, что крестьянин должен выйти из сада с одним яблоком, и шаг за шагом "отматываем" действия каждого сторожа, чтобы узнать, сколько яблок у крестьянина было перед встречей с этим сторожем. Такой подход часто используется в задачах, где есть последовательность действий, обратимых по своей природе.

3. Основные математические операции.

Для каждого сторожа выполняется операция:
1. Сторож забирает половину яблок, которые есть у крестьянина, плюс одно яблоко.
2. Это значит, что после встречи с одним сторожем количество яблок у крестьянина уменьшается.

Если перед встречей со сторожем у крестьянина было $ y $ яблок, то после встречи остаётся:
$$ y_{\text{после}} = \frac{y}{2} - 1 $$

Эта формула поможет нам понять, сколько яблок у крестьянина оставалось после каждого забора.

4. Обратный ход.

Чтобы узнать, сколько яблок у крестьянина было до встречи с сторожем, нужно воспользоваться обратной формулой:
$$ y_{\text{до}} = (y_{\text{после}} + 1) \cdot 2 $$

Таким образом, шаг за шагом мы можем восстановить количество яблок перед встречей со вторым и первым сторожем, зная конечное количество яблок.

5. Система уравнений.

Можно записать последовательность действий в виде уравнений:
1. После третьего сторожа у крестьянина остаётся 1 яблоко.
2. До третьего сторожа у крестьянина было:
$$ y_2 = (1 + 1) \cdot 2 $$
3. Аналогично, до второго и первого сторожа мы можем использовать ту же формулу, пока не найдём начальное количество яблок.

6. Проверка.

После нахождения начального количества яблок важно проверить решение: пройти по цепочке событий (от первого сторожа до третьего) и убедиться, что крестьянин действительно заканчивает свой путь с одним яблоком.

7. Основные математические понятия, используемые в задаче:

• Дроби и деление на 2: Умение работать с дробями — ключевая часть этой задачи, так как крестьянин каждый раз теряет половину своих яблок.
• Обратные действия: Понимание того, что каждое уменьшение (половина яблок минус одно) может быть обращено с помощью обратных операций.
• Последовательность операций: Задачи такого типа часто требуют выполнения действий в обратном порядке.
• Алгоритмическое мышление: Задача фактически просит нас построить алгоритм, следуя которому мы можем восстановить начальное количество яблок.

8. Вывод.

Решение этой задачи базируется на пошаговых вычислениях с использованием обратных операций. Оно требует понимания арифметики, умения работать с дробями и навыков логического анализа.