Упрости выражения, пользуясь свойствами сложения и умножения:
23 + a + 77
42 + b + 34 + 158
25 * c * 4
d * 7 * 5 * 2 * 5 * 2

Чтобы решить задачу об упрощении выражений, необходимо применить свойства арифметических операций — сложения и умножения. Рассмотрим основные свойства, которые используются для упрощения подобных математических выражений:

1. Свойства сложения

Сложение — это операция объединения двух чисел, чтобы получить их сумму. Сложение обладает следующими свойствами:

• Переместительное свойство сложения (коммутативность):
  $ a + b = b + a $
  Это означает, что порядок слагаемых можно менять, и результат останется тем же.

• Сочетательное свойство сложения (ассоциативность):
  $ (a + b) + c = a + (b + c) $
  Это свойство позволяет объединять слагаемые в любом порядке при сложении.

• Сложение с нулем:
  $ a + 0 = a $
  Ноль является нейтральным элементом сложения, то есть число не изменяется, если к нему прибавить ноль.

Эти свойства позволяют упрощать выражения, изменять порядок слагаемых и группировать их для удобства вычислений.

2. Свойства умножения

Умножение — это операция повторного сложения одного числа, взятого определенное количество раз. Умножение обладает следующими важными свойствами:

• Переместительное свойство умножения (коммутативность):
  $ a \cdot b = b \cdot a $
  Это означает, что порядок множителей можно менять, и результат умножения останется тем же.

• Сочетательное свойство умножения (ассоциативность):
  $ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $
  Это свойство позволяет объединять множители в любом порядке при умножении.

• Умножение на единицу:
  $ a \cdot 1 = a $
  Единица является нейтральным элементом умножения, то есть число не изменяется, если его умножить на единицу.

• Умножение на ноль:
  $ a \cdot 0 = 0 $
  Любое число, умноженное на ноль, дает ноль.

Эти свойства позволяют упрощать выражения, изменять порядок множителей и группировать их для удобства вычислений.

3. Связь сложения и умножения

Когда в выражении есть несколько одинаковых слагаемых, их можно заменить на произведение. Например:
$ a + a + a = 3 \cdot a $.
Это использование свойства умножения как повторного сложения.

4. Применение свойств

Когда перед вами выражение, которое нужно упростить, следует выполнить несколько шагов:

• Шаг 1. Перестановка:
  Используйте переместительное свойство сложения или умножения, чтобы поменять местами слагаемые или множители и упростить вычисления.

• Шаг 2. Группировка:
  Используйте сочетательное свойство, чтобы сгруппировать числа удобным образом для дальнейших вычислений.

• Шаг 3. Замена повторяющихся слагаемых на произведение:
  Если в выражении есть одинаковые слагаемые, замените их на произведение.

Эти шаги позволяют упростить длинные выражения и сделать их более удобными для вычислений.