а) Прочитай равенства разными способами и объясни их смысл:
a * b = b * a
(a * b) * c = a * (b * c)
б) Как число умножить на 10, на 100? Выполни действия:
5 * 10 =
5 * 100 =
Используя свойства умножения, установи, сохранится ли эта закономерность при умножении на 1000, 10000 и т.д.
5 * 1000 = 5 * (100 * 10) = (5 * 100) * 10 =
5 * 10000 = 5 * (1000 * 10) =
Сделай вывод.

Чтобы подготовиться к решению задачи, важно разобраться с теоретическими аспектами, которые лежат в её основе. Рассмотрим каждый пункт подробно.

а) Прочитай равенства разными способами и объясни их смысл:

1. Равенство a * b = b * a: Это свойство называется коммутативность умножения. Оно означает, что порядок множителей не влияет на результат умножения. Например, если мы умножаем два числа, скажем, 3 и 4, то результат будет одинаковым независимо от того, в каком порядке мы их записываем: $3 \times 4 = 12$ и $4 \times 3 = 12$. То есть, при умножении чисел их перестановка не изменяет итоговый результат.

Примеры прочтения:
− Если умножить $a$ на $b$, это то же самое, что умножить $b$ на $a$.
− Умножение двух чисел даёт одинаковый результат, независимо от порядка.

Смысл: Эта закономерность важна, так как она упрощает вычисления. Мы можем переставлять множители, чтобы делать расчёт удобнее.

1. Равенство (a * b) * c = a * (b * c): Это свойство называется ассоциативность умножения. Оно означает, что при умножении более чем двух чисел порядок группировки множителей не влияет на результат. Например, если мы умножаем $2 \times 3 \times 4$, то можем сначала умножить $2 \times 3$, а затем результат умножить на $4$: $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$. Или же сначала умножить $3 \times 4$, а потом результат умножить на $2$: $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$. Результат будет одинаковым.

Примеры прочтения:
− Если сначала умножить $a$ на $b$, а затем результат умножить на $c$, это то же самое, что если сначала умножить $b$ на $c$, а затем результат умножить на $a$.
− Порядок группировки множителей в выражении не меняет результата.

Смысл: Это свойство позволяет свободно группировать множители, что делает вычисления более гибкими и удобными.

б) Как число умножить на 10, на 100?

Чтобы понять, как умножать на 10, 100, 1000 и другие степени десяти, нужно обратить внимание на закономерности, которые возникают при умножении:

1. Умножение на 10:
   Умножение числа на 10 увеличивает его значение в 10 раз. Это то же самое, что приписать к числу один ноль справа. Например:

   • $5 \times 10 = 50$. Здесь к числу $5$ добавляется один ноль, что превращает его в $50$.

2. Умножение на 100:
   Умножение числа на 100 увеличивает его значение в 100 раз. Это то же самое, что приписать два нуля справа. Например:

   • $5 \times 100 = 500$. Здесь к числу $5$ добавляется два нуля, что превращает его в $500$.

3. Умножение на 1000, 10000 и т.д.:
   Умножение числа на 1000 увеличивает его значение в 1000 раз, а на 10000 — в 10000 раз. Это то же самое, что приписать к числу три или четыре нуля справа соответственно. Например:

   • $5 \times 1000 = 5000$. К числу $5$ добавляется три нуля.
   • $5 \times 10000 = 50000$. К числу $5$ добавляется четыре нуля.

Использование свойств умножения для проверки закономерности:

1. Свойства коммутативности и ассоциативности позволяют разложить выражение на более простые части. Например:

   • $5 \times 1000 = 5 \times (100 \times 10) = (5 \times 100) \times 10$. Сначала умножаем $5 \times 100 = 500$, а потом умножаем $500 \times 10 = 5000$. Результат согласуется с описанной закономерностью.

2. Эта же закономерность сохраняется при умножении на 10000:

   • $5 \times 10000 = 5 \times (1000 \times 10) = (5 \times 1000) \times 10$. Сначала умножаем $5 \times 1000 = 5000$, а затем $5000 \times 10 = 50000$. Итог также подтверждает правило добавления нулей.

Вывод:

При умножении числа на 10, 100, 1000, 10000 и другие степени десяти результат можно получить, добавляя к числу столько нулей, сколько составляет количество нулей в множителе. Эти действия основаны на свойствах умножения (коммутативности и ассоциативности), а также на смысловом понимании умножения как увеличения числа в определенное число раз.