Пусть A = {0; 1; 2}. Какие из множеств B = {2; 0; 1}, C = {1; 0}, D = {3; 2; 1; 0} равны множеству A, а какие ему не равны? Сделай записи и объясни их.

Для того чтобы разобраться с этой задачей, нам нужно понять, как определяются равенства и различия между множествами. В теории множеств есть четкие правила, которые помогут нам выполнить сравнение.

Основные теоретические понятия:

1. Что такое множество?
   Множество — это коллекция объектов, называемых элементами множества. Например, множество $ A = \{0; 1; 2\} $ состоит из элементов 0, 1 и 2.

2. Когда два множества равны?
   Два множества $ A $ и $ B $ равны, если они содержат одни и те же элементы. При этом:

   • Порядок написания элементов не имеет значения. Например, $ \{1; 0; 2\} $ и $ \{2; 0; 1\} $ — это одно и то же множество.
   • Каждый элемент из $ A $ должен принадлежать множеству $ B $, и наоборот — каждый элемент из $ B $ должен принадлежать множеству $ A $.

3. Когда два множества не равны?
   Два множества $ A $ и $ B $ не равны, если хотя бы один элемент, принадлежащий одному из них, не содержится в другом. Например, $ \{1; 0; 2\} $ и $ \{1; 0\} $ не равны, потому что в первом множестве есть элемент 2, которого нет во втором.

4. Как сравнивать множества на равенство?
   Чтобы проверить, равны ли множества $ A $ и $ B $:

   • Сравните все элементы из $ A $ с элементами из $ B $. Каждый элемент из $ A $ должен находиться в $ B $.
   • Сравните все элементы из $ B $ с элементами из $ A $. Каждый элемент из $ B $ должен находиться в $ A $. Если оба условия выполняются, то множества равны.

Пример работы с множествами:
− Рассмотрим $ A = \{0; 1; 2\} $ и $ B = \{2; 0; 1\} $.
− Порядок написания элементов не важен, значит, мы просто проверяем наличие одинаковых элементов. Здесь в $ B $ есть все элементы $ A $ (0, 1, 2), и $ A $ также содержит все элементы $ B $.
− Следовательно, $ A = B $.

• Теперь рассмотрим $ A = \{0; 1; 2\} $ и $ C = \{1; 0\} $.

  • В $ C $ есть элементы 1 и 0, которые также есть в $ A $.
  • Но в $ A $ есть элемент 2, которого нет в $ C $. Следовательно, множества не равны ($ A \neq C $).

• Рассмотрим $ A = \{0; 1; 2\} $ и $ D = \{3; 2; 1; 0\} $.

  • Все элементы $ A $ (0, 1, 2) есть в $ D $.
  • Однако в $ D $ есть элемент 3, которого нет в $ A $. Следовательно, множества не равны ($ A \neq D $).

Обобщение:
Для сравнения множеств нужно помнить:
− Порядок элементов в множествах не имеет значения.
− Повторение элементов в записи множества не влияет на его содержимое (например, $ \{1; 1; 2\} $ эквивалентно $ \{1; 2\} $).
− Если хотя бы один элемент одного множества отсутствует в другом, множества не равны.