Какие трехзначные числа можно составить из цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи числа не должно быть одинаковых цифр? Сколько таких чисел?

Для решения задачи, нужно понять, что речь идет о перестановках трех различных цифр. В данном случае у нас есть три цифры: 3, 7 и 1. Поскольку в записи числа не должно быть одинаковых цифр, каждое из этих чисел может использоваться только один раз в каждой комбинации.

Для начала нужно понять, что трехзначное число состоит из трех позиций: сотни, десятки и единицы. Каждую из этих позиций необходимо заполнить одной из трех доступных цифр.

Рассмотрим возможные способы выбора цифры для каждой позиции.
1. Для первой позиции (сотни) можно выбрать любую из трех цифр.
2. Для второй позиции (десятки) можно выбрать любую из оставшихся двух цифр.
3. Для третьей позиции (единицы) останется только одна цифра.

Таким образом, каждая позиция заполняется цифрой в определенной последовательности, и количество возможных комбинаций определяется путем перемножения количества вариантов для каждой позиции. Это можно выразить как произведение:
$$ 3 \times 2 \times 1 $$

Важно отметить, что это классическая задача на перестановку без повторений, где порядок элементов имеет значение, и все элементы уникальны. Поэтому итоговое количество возможных комбинаций, то есть трехзначных чисел, составленных из цифр 3, 7 и 1 без повторений, будет равно количеству перестановок этих трех цифр.

Для практического вычисления количества таких перестановок можно использовать факториал от числа элементов, что записывается как $3!$, где факториал числа $n$ обозначает произведение всех положительных целых чисел от 1 до $n$:
$$ 3! = 3 \times 2 \times 1 $$

С помощью этой формулы можно найти точное количество возможных трехзначных чисел.