Система счисления
Когда людям приходилось считать на пальцах очень большие совокупности предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй − десятки, а третий − сотни, то есть десятки десятков. Он загибал один палец лишь после того, как у второго участника счета оказывались загнутыми все пальцы обеих рук. Такой счет единицами, затем десятками, затем десятками десятков, а там десятками сотен и т. д. лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов мира. Она называется десятичной системой.
Сначала говорили так: пять пальцев третьего человека, восемь пальцев второго и шесть пальцев первого. Но ведь это сколько времени надо произносить! Поэтому постепенно стали произносить короче. Вместо "палец второго человека" появилось слово "десять", а вместо "палец третьего человека" − "сто".
Вот и получилось: пятьсот восемьдесят шесть.
Сейчас десятичная система счисления применяется почти повсеместно. Но и теперь есть еще племена, которые довольствуются при счете пальцами одной руки. У них система счисления оказалась пятеричной. В странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Поэтому довольно большое распространение получила двадцатиричная система счисления. Следы этого сохранились, например, во французском языке, где слово "восемьдесят" звучит как "четыре раза двадцать".
Самым серьезным соперником десятичной системы счисления оказалась двенадцатиричная. Вместо десятков применяли при счете дюжины, то есть группы из 12 предметов. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например ножи, ложки, вилки, продают дюжинами. В чайный сервиз, как правило, входит по 12 чашек и 12 блюдец.
Кстати, в торговле еще в начале нашего века применяли и дюжину дюжин, которую называли гроссом (большой дюжиной). Так что, пересчитав предметы в двенадцатиричной системе, можно было сказать: пять гроссов, восемь дюжин и еще шесть предметов. В нашей системе обозначений это число
144 * 5 + 12 * 8 + 6 = 822
Откуда же взялся интерес к дюжине? В древних памятниках письменности число 12 встречается часто и всегда в какой−то особой роли. То у пророка оказывается ровно 12 последователей, то герой должен совершить как раз 12 подвигов, чтобы искупить свою вину. Год разделен на 12 месяцев, и даже Гулливер в книге Свифта в 12 раз выше, чем его лилипуты, и в 12 раз ниже, чем великаны. Чем объяснить такое почтительное отношение к числу 12?
Ответить на это вопрос помогла ученым глиняная табличка, на который был записан самый древний шумерский счет.
Оказывается, шумеры считали в древности не по пальцам, а по суставам пальцев. А на каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава − всего 12.
Несколько раз совершалась попытка ввести двенадцатиричную систему, то есть вместо десятков считать дюжинами и гроссами. Однако дальше разговоров дело не пошло: непосильной оказалась задача переучить всех на новые обозначения и правила счета.
Разумеется, победа новой десятичной системы счисления над всеми соперницами объясняется тем, что у человека на каждой руке по 5 пальцев. Было бы их по шесть, считали бы мы не десятками, а дюжинами. А если бы у нас, как у лошадей, на руках и ногах были копыта, то арифметика была бы такой же, как у папуасов, − мы считали бы парами.
Но странные повороты делает история!
Именно двоичная система счисления оказалась самой полезной для современной техники. На основе двоичной системы счисления работают современные компьютеры.

Для решения задачи, связанной с системами счисления, нужно понимать и применять следующие теоретические принципы:

1. Система счисления:

   • Система счисления — это способ записи чисел с использованием определенного количества символов (цифр).
   • Самая распространенная система счисления — десятичная. В ней используются 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Основание системы счисления:

   • Основание системы счисления — это количество различных цифр, используемых для записи чисел.
   • Например:
   • В десятичной системе основание равно 10.
   • В пятеричной системе основание равно 5 (цифры: 0, 1, 2, 3, 4).
   • В двенадцатиричной системе основание равно 12 (цифры обычно обозначают числа от 0 до 11).

3. Разрядность чисел:

   • В любой системе счисления числа записываются разрядно. Каждый разряд имеет свой вес, который определяется степенью основания.
   • Например, в десятичной системе число 586 можно представить как:
   • $ 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 6 \cdot 1 $, где $ 100 = 10^2 $, $ 10 = 10^1 $, $ 1 = 10^0 $.

4. Двоичная система счисления:

   • Основание равно 2, используются только две цифры: 0 и 1.
   • В современной технике двоичная система счисления является основой для работы компьютеров, так как они используют два состояния: "включено" (1) и "выключено" (0).

5. Пятеричная система счисления:

   • Основание равно 5, используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4.
   • Например, в пятеричной системе число 432 записывается как:
   • $ 4 \cdot 25 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 1 $, где $ 25 = 5^2 $, $ 5 = 5^1 $, $ 1 = 5^0 $.

6. Двенадцатиричная система счисления:

   • Основание равно 12, используются цифры для обозначения чисел от 0 до 11.
   • Например, число 5 гроссов, 8 дюжин и 6 единиц в двенадцатиричной системе записывается как:
   • $ 5 \cdot 144 + 8 \cdot 12 + 6 \cdot 1 $, где $ 144 = 12^2 $, $ 12 = 12^1 $, $ 1 = 12^0 $.

7. Перевод чисел между системами счисления:

   • Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, важно учитывать основание каждой системы.
   • Для перевода из десятичной системы в систему с любым основанием необходимо делить число на основание системы, записывая остатки. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю.
   • Для перевода из другой системы счисления в десятичную используется формула:
   • $ N = a_n \cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + a_0 \cdot b^0 $, где $ b $ — основание системы, $ n $ — количество разрядов, $ a $ — цифры числа.

8. Исторические аспекты систем счисления:

   • Пяти− и двадцатиричные системы счисления связаны с использованием пальцев рук и ног.
   • Двенадцатиричная система возникла из подсчета суставов пальцев.
   • Двоичная система счисления имеет строгое математическое обоснование и является основой современной техники.

9. Практическое применение различных систем счисления:

   • Десятичная система используется в повседневной жизни.
   • Двоичная система применяется в вычислительной технике.
   • Двенадцатиричная система сохраняется в торговле (дюжины, гроссы).

Для решения задачи важно определить, в какой системе счисления работает задача, и применять соответствующие правила, учитывая основание системы.