Первые цифры
Долгое время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали. Причина для этого была самая уважительная − они еще не умели писать. Поэтому, если кому−нибудь надо было переслать другому человеку сведения, где участвовали числа, прибегали к зарубкам на дереве или на кости, к узелкам на веревках, рисунками на мягкой глине и т.д. Такие знаки уже нельзя было перекладывать с места на место, убирать одни и добавлять другие. Вместо этого приходилось думать, мысленно выполнять операции над знаками.
Но все же это еще не была настоящая арифметика. Знаки на глине обозначали не числа, а предметы − головы скота, мешки с зерном, кувшины масла. Их приходилось изображать столько же, сколько было предметов. С этим еще можно было мириться, пока учет велся в пределах одного хозяйства, одной деревни. Но когда возникали государства, старые методы обозначения чисел стали негодными. для записи больших чисел уже нельзя было обойтись ни зарубками на бирках, ни узелками, ни глиняными фигурками.
И вот примерно 5 тысяч лет тому назад было сделано замечательное открытие. Люди догадались, что можно обозначать знаком не одну голову скота, а сразу 10 или 100 голов, не один мешок зерна, а сразу 6 или 60 мешков.
Например, египтяне обозначали десяток знаком ∩ (единицу они обозначали просто вертикальной черточкой |, как это делаем мы), десять десятков, то есть сотню, − знаком похожим на . Появились знаки для тысячи , десятка тысяч , ста тысяч и миллиона .
Чтобы написать какое−нибудь число, египетский писец бесхитростно писал столько раз знак , сколько в этом числе тысяч, затем столько раз, сколько в оставшейся части сотен, и т.д.
Запись, показанная на таблице, означала, что в числе 2 тысячи, 3 сотни, 6 десятков и 7 единиц. Значит, в нашей нумерации это число 2367.

Писать много раз один и тот же знак, разумеется, весьма неудобно. Более экономной является позиционная система записи чисел, где имеет значение не только начертания цифры, но и ее позиция, положение среди других цифр. Позиционной является современная система записи чисел, которую мы изучаем в школе. Например, в числе 18 цифра 8 означает 8 единиц, в числе 82 − 8 десятков, или 80 единиц, а в числе 875 − 8 сотен, или 800 единиц.
Первая позиционная система записи чисел появилась в Вавилоне. Единица в ней обозначалась знаком, похожим на клин , а десяток − знаком, похожим на . Дальше вавилоняне поступили почти так же, как это делаем сейчас мы.
Запись означала 3 единицы высшего разряда (то есть 3 раза по 60), а дальше шло обозначение числа 25. Поэтому на табличке записано число: 60 * 3 + 25 = 205. Так что в основном разница между вавилонской и современной записью чисел была в одном: вместо числа 10 вавилоняне приняли за основу системы счисления число 60. Но было еще одно отличие, делавшее вавилонскую систему записи не совсем удобной: вавилоняне долгое время не знали нуля! Из−за этого запись числа 205 можно было прочитать совсем о другому. Представьте, что у нас нет нуля и мы не различаем запись чисел 47, 407, 470, 4007 и т.д. Вот и вавилонским писцам трудно было разбираться, какое именно число записано.
Немало различных способов записи чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком (титло)
э который писали над буквой. Первые 9 букв алфавита обозначали единицы, следующие 9 букв − десятки, а последние 9 букв − сотни. Число 10 тысяч называли словом "тьма". Вот некоторые из этих обозначений:

Всем известны римские цифры, которые употреблялись в Древнем Риме уже 2500 лет назад:

Остальные числа записываются этими цифрами с применением сложения и вычитания. Так, например, число XXVII означает 27, так как 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27. Если меньшая по значению цифра (I, X, C) стоит перед большей, то ее значение вычитается. Например, IV означает 4 (5 − 1 = 4), IX означает 9 (10 − 1 = 9). XC означает 90 (100 − 10 = 90). Таким образом, число MMIX означает 2009, так как 1000 + 1000 + (10 − 1) = 2009.
Римская нумерация сравнительно неудобна: записи чисел длинные, письменные вычисления производить невозможно. В этом легко убедиться, если выполнить, например, сложение чисел CCXVII и XLIX или умножение чисел XXXVII и IV. Римские цифры используют в настоящее время довольно редко, в основном для обозначения порядковых числительных.

Для решения задачи вам потребуется разобраться в различных системах счисления и их особенностях.

Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с использованием определённых символов. Различные системы имеют свои правила использования символов и записи чисел. Важно понимать разницу между позиционными и непозиционными системами.

Непозиционные системы счисления:

1. Особенность:

   • В таких системах значение числа определяется только количеством и значением используемых символов, но не их положением (позицией).
   • Пример: Египетская система записи чисел. Здесь каждая цифра обозначает определённое количество единиц, десятков, сотен и т.д., а для записи конкретного числа символы просто повторяются нужное количество раз.

2. Египетская система:

   • Для записи чисел использовались отдельные символы для разных разрядов:
   • | — единица.
   • ∩ — десяток.
   • — сотня.
   • — тысяча и так далее.
   • Число записывалось путём повторения символов в нужном количестве.

3. Проблемы:

   • Увеличение числа требует большего количества повторяющихся символов, что делает запись громоздкой.
   • Пример: 2367 записывается как 2 символа для тысячи, 3 — для сотен, 6 — для десятков, и 7 — для единиц.

Позиционные системы счисления:

1. Особенность:

   • В этих системах значение числа зависит не только от символов, но и от их положения (позиции).
   • Каждая позиция соответствует определённому разряду: единицы, десятки, сотни и т.д.
   • Пример: Современная десятичная система, где 18 означает 1 десяток и 8 единиц.

2. Десятичная система:

   • Основой является число 10.
   • Используются 10 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
   • Пример: Число 875 читается как 8 сотен, 7 десятков и 5 единиц (800 + 70 + 5).

3. Вавилонская система:

   • Основой является число 60.
   • Используются два символа:
   • — единица.
   • — десяток.
   • Пример: Число 205 записывается как три группы по 60 (3 × 60) плюс 25, то есть 205.

4. Проблема вавилонской системы:

   • Долгое время не существовало понятия "ноль". Это затрудняло интерпретацию чисел, так как отсутствовал способ обозначить отсутствие разряда (например, отличить 47 от 407).

Римская система счисления:

1. Символы:

   • I — 1.
   • V — 5.
   • X — 10.
   • L — 50.
   • C — 100.
   • D — 500.
   • M — 1000.

2. Правила записи:

   • Если меньшая цифра стоит перед большей, то её значение вычитается (например, IV = 4, IX = 9).
   • Если меньшая цифра стоит после большей, то её значение прибавляется (например, VI = 6, XI = 11).

3. Проблемы:

   • Отсутствие позиции усложняет выполнение арифметических операций.
   • Пример: Число 2009 записывается как MMIX (1000 + 1000 + [10 − 1]).

Древнерусская система записи чисел:

1. Символы:

   • Каждой букве алфавита соответствует числовое значение. Первые 9 букв обозначают единицы, следующие 9 — десятки, последние 9 — сотни.

2. Особенности:

   • Для обозначения числа использовался специальный знак (титло) над буквой.

Современная десятичная система:

1. Особенности:

   • Наиболее эффективная и универсальная система.
   • Основана на числе 10.
   • Используется для всех арифметических операций.

2. Преимущества:

   • Компактная запись чисел.
   • Легкость выполнения сложных вычислений.

Ключевая идея:

Понимание различных систем счисления помогает увидеть, как развивались и упрощались методы записи чисел. Современная система появилась благодаря многовековому накоплению знаний и решений проблем, наблюдаемых в более ранних системах.