Что общего в равенствах каждого столбца, каждой строки? Какие свойства они выражают?
a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c)
a * b = b * a (a * b) * c = a * (b * c)
A ∩ B = B ∩ A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Все ли операции над числами и множествами обладают этими свойствами?

Чтобы рассмотреть, что общего в данных равенствах и какие свойства они выражают, важно понять каждое из них в отдельности. Рассмотрим каждый столбец и строку подробно, а также общие свойства операций.

1. Первое равенство каждого столбца:

• $ a + b = b + a $
• $ a \times b = b \times a $
• $ A \cap B = B \cap A $

Общее свойство, которое выражается в этих равенствах, называется коммутативностью.

Коммутативность:

Коммутативность означает, что результат операции не зависит от порядка элементов. Например, при сложении чисел $ a + b $ равно $ b + a $, а при умножении $ a \times b $ равно $ b \times a $. Аналогично для пересечения множеств ($ A \cap B $): порядок, в котором записаны множества, не влияет на результат пересечения.

Область применения:
− Сложение ($+$) и умножение ($\times$) чисел обладают свойством коммутативности.
− Пересечение ($\cap$) множеств также обладает свойством коммутативности.

Однако, не все операции обладают этим свойством. Например, вычитание ($-$) и деление ($/$) чисел, а также вычитание множеств ($A - B$), не являются коммутативными.

2. Второе равенство каждого столбца:

• $ (a + b) + c = a + (b + c) $
• $ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) $
• $ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $

Общее свойство, которое выражается в этих равенствах, называется ассоциативностью.

Ассоциативность:

Ассоциативность означает, что при выполнении операции с тремя элементами группировка (или порядок выполнения) не влияет на результат. Например, при сложении чисел $ (a + b) + c $ равно $ a + (b + c) $, а при умножении $ (a \times b) \times c $ равно $ a \times (b \times c) $. Аналогично для пересечения множеств ($ (A \cap B) \cap C $): результат не зависит от порядка группировки.

Область применения:
− Сложение ($+$) и умножение ($\times$) чисел обладают свойством ассоциативности.
− Пересечение ($\cap$) множеств также обладает свойством ассоциативности.

Однако, как и с коммутативностью, не все операции обладают этим свойством. Например, вычитание ($-$) и деление ($/$) чисел, а также вычитание множеств ($A - B$), не являются ассоциативными.

3. Свойства операций:

Из приведённых равенств можно выделить два ключевых свойства:

1. Коммутативность ($ a + b = b + a $, $ A \cap B = B \cap A $):
   Свойство, при котором результат не зависит от порядка операндов.

2. Ассоциативность ($ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $):
   Свойство, при котором результат не зависит от порядка группировки операндов.

4. Применимость свойств ко всем операциям:

• Коммутативность:
  Обладает: сложение, умножение, пересечение множеств.
  Не обладает: вычитание, деление, вычитание множеств.

• Ассоциативность:
  Обладает: сложение, умножение, пересечение множеств.
  Не обладает: вычитание, деление, вычитание множеств.

Таким образом, данные свойства применимы не ко всем операциям. Они зависят от конкретной природы операции.