В коробке красные, синие, желтые и зеленые карандаши. Сколько существует различных способов выбора двух карандашей, если цвет карандашей:
а) должен быть различным;
б) может быть одинаковым?

Для решения задачи о выборе двух карандашей из коробки, важно понять основную теорию комбинаторики, которая используется для подсчёта числа способов выбора объектов. Давайте подробно разберём теоретическую часть, необходимую для решения задачи.

1. Основное понятие комбинаторики: сочетания Если нужно выбрать несколько объектов из множества, и порядок выбора не имеет значения, то задача сводится к вычислению числа сочетаний. Формула для количества сочетаний выглядит следующим образом: $$ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}, $$ где:
   • $ n $ — количество объектов, из которых делается выбор,
   • $ k $ — количество выбираемых объектов,
   • $ ! $ — факториал числа (например, $ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $).

Сочетания применяются, если нас интересует только состав группы, но не порядок.

1. Понятие выбора с учётом условий Когда мы выбираем карандаши, иногда накладываются определённые условия. Например:
   • Выбор может быть без ограничений, то есть оба карандаша могут быть любого цвета.
   • Выбор может быть с ограничением, например, если цвета должны быть различными.

Эти условия влияют на способ подсчёта количества вариантов.

1. Случай а) Цвет карандашей должен быть различным Если требуется, чтобы цвета карандашей были различными, то мы выбираем два карандаша разных цветов из множества цветов. Здесь важно учитывать, что:
   • Порядок выбора не имеет значения.
   • Всего в коробке есть четыре цвета: красный, синий, жёлтый и зелёный.

Таким образом, задача сводится к подсчёту количества способов выбора двух цветов из четырёх. Для этого применяется формула сочетаний:
$$ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}, $$
где:
− $ n = 4 $ (всего 4 цвета),
− $ k = 2 $ (выбираем два цвета).

1. Случай б) Цвет карандашей может быть одинаковым Если допускается, что выбираемые карандаши могут быть одного цвета, то нужно учитывать:
   • Возможность выбора двух карандашей одного и того же цвета (например, оба красные, оба синие и т.д.).
   • Возможность выбора двух карандашей разных цветов. Этот случай аналогичен предыдущему (случай а)).

Здесь подсчёт проводится следующим образом:
− Если оба карандаша одного цвета, то это возможно для каждого из четырёх цветов.
− Если цвета различных карандашей отличаются, то используются сочетания, как в случае а).

1. Суммарное количество вариантов Когда цвета могут быть одинаковыми, итоговое количество способов выбора двух карандашей складывается из двух составляющих:
   • Количество способов выбрать два карандаша одного цвета.
   • Количество способов выбрать два карандаша разных цветов.

Это важно учитывать при расчёте, чтобы не пропустить ни один возможный вариант.

1. Важные математические идеи
   • В расчетах важно различать выбор с учётом порядка (перестановки) и выбор без учёта порядка (сочетания).
   • Если требуется учитывать одинаковость объектов, то нужно добавлять в итоговый подсчёт все возможные варианты, где цвета совпадают.

На основе этой теоретической части можно выполнить решение задачи, используя формулы сочетаний и учёт возможных условий выбора.