Вставь вместо звездочек подходящие знаки. В каких случаях возможны различные варианты решения? Переведи полученные равенства с математического языка на русский:
a * 0 = a;
a * a = 0;
1 * a = a;
a * 1 = a;
a * a = 1;
0 * a = 0;
a * 0 = 0;
0 * a = a.

Чтобы решить задачу, нужно внимательно рассмотреть каждый из выражений и заполнить пропущенные знаки математическими операциями. Прежде чем это сделать, важно вспомнить основные свойства чисел и операций, а также их перевод с математического языка на обычный.

1. СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ И СЛОЖЕНИЯ

• Умножение на 0 (нулевой множитель): Любое число, умноженное на 0, всегда равно 0.
  Пример: $5 \cdot 0 = 0$.

• Умножение на 1 (единичный множитель): Любое число, умноженное на 1, остается самим собой.
  Пример: $7 \cdot 1 = 7$.

• Сложение с 0: Если к числу прибавить 0, то число не изменится.
  Пример: $4 + 0 = 4$.

• Переместительное свойство умножения: Порядок множителей в умножении можно менять, и произведение не изменится.
  Пример: $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6$.

• Переместительное и сочетательное свойства сложения: Сложение чисел не зависит от порядка или расстановки скобок.
  Пример: $ (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$.

1. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ВЫРАЖЕНИЙ

Некоторые выражения могут не иметь единственного решения, а допускать разные варианты, в зависимости от того, какие знаки вставляются. Например, если выражение допускает использование как сложения, так и умножения, или, наоборот, имеет ограничения, такие как деление на 0 (которое невозможно), это влияет на результат.

1. ПЕРЕВОД С МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЯЗЫКА НА ОБЫЧНЫЙ

Чтобы понять задачу, нужно интерпретировать символы. Например:

• $a \cdot 0 = a$: Это можно перевести так: "Число $a$, умноженное на 0, равно $a$". Но это неправда, так как по правилу умножения на 0, результат всегда будет 0.

• $a \cdot a = 0$: Это утверждает, что число $a$, умноженное само на себя, дает 0. Такое возможно только если $a = 0$.

• $1 \cdot a = a$: Это значит, что число $a$, умноженное на 1, остается $a$. Это верно для любых $a$.

• $a \cdot 1 = a$: Аналогично предыдущему, число $a$, умноженное на 1, остается самим собой.

• $a \cdot a = 1$: Это утверждает, что число $a$, умноженное само на себя, дает 1. Такое возможно только если $a = 1$ или $a = -1$ (хотя в задаче, скорее всего, предполагаются только положительные числа).

• $0 \cdot a = 0$: Это утверждает, что 0, умноженное на любое число $a$, равно 0. Это всегда верно.

• $a \cdot 0 = 0$: Это утверждает, что любое число $a$, умноженное на 0, равно 0. Это тоже всегда верно.

• $0 \cdot a = a$: Это утверждает, что 0, умноженное на $a$, равно $a$. Это неверно, так как умножение любого числа на 0 всегда дает 0.

1. ПОДРОБНОЕ РАЗЪЯСНЕНИЕ КАЖДОГО ВЫРАЖЕНИЯ

Выражение 1: $a * 0 = a$

• Здесь используется операция умножения. Если $a$ умножить на 0, по правилу умножения, результат всегда будет равен 0. Таким образом, выражение неверно.

Выражение 2: $a * a = 0$

• Число $a$, умноженное само на себя, равно 0. Это возможно только в случае, если $a = 0$.

Выражение 3: $1 * a = a$

• Число 1, умноженное на $a$, равно самому $a$. Это верно для всех чисел $a$.

Выражение 4: $a * 1 = a$

• $a$, умноженное на 1, остается равным $a$. Это также верно для любых чисел $a$.

Выражение 5: $a * a = 1$

• Число $a$, умноженное само на себя, равно 1. Это возможно, если $a = 1$ или $a = -1$.

Выражение 6: $0 * a = 0$

• 0, умноженное на любое число $a$, всегда равно 0. Это верно.

Выражение 7: $a * 0 = 0$

• Любое число $a$, умноженное на 0, всегда равно 0. Это тоже верно.

Выражение 8: $0 * a = a$

• 0, умноженное на $a$, якобы равно $a$. Однако это неверно, так как результат всегда должен быть равен 0.

1. ВОЗМОЖНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ РЕШЕНИЯ

• Различные варианты возможны там, где операции дают несколько решений. Например, $a \cdot a = 1$ допускает два решения ($a = 1$ или $a = -1$).
• В других случаях, где свойства операций однозначно определяют результат, как в $a \cdot 0 = 0$, вариантов нет.