Раскрась синим карандашом пересечение двух множеств, записанных в скобках, а жёлтым карандашом − третье множество. Обведи красным карандашом пересечение "синего" и "желтого" множеств.

Сделай вывод:

Для решения этой задачи важно понимать основные понятия теории множеств, а также уметь работать с пересечениями множеств. Рассмотрим теоретическую часть.

Основные понятия:

1. Множество − это совокупность объектов, которые имеют общие свойства. Объекты, входящие в множество, называются элементами множества.

2. Пересечение множеств − это множество, состоящее из тех элементов, которые одновременно принадлежат всем рассматриваемым множествам.

3. Обозначение пересечения:

   • Пересечение двух множеств $ A $ и $ B $ обозначается как $ A \cap B $. Это множество элементов, которые одновременно принадлежат множествам $ A $ и $ B $.

4. Свойства пересечения:

   • Если два множества не имеют общих элементов, их пересечение называется пустым множеством ($ \emptyset $).
   • Пересечение множеств симметрично: $ A \cap B = B \cap A $.

Разберёмся с выражениями в задаче:

1. Первое выражение: $ (A \cap B) \cap C $

   • Сначала находится пересечение двух множеств $ A \cap B $, то есть те элементы, которые одновременно принадлежат множествам $ A $ и $ B $.
   • Затем вычисляется пересечение результата ($ A \cap B $) с множеством $ C $. Это те элементы, которые одновременно принадлежат множествам $ A $, $ B $, и $ C $.

2. Второе выражение: $ A \cap (B \cap C) $

   • Сначала находится пересечение двух множеств $ B \cap C $, то есть те элементы, которые одновременно принадлежат множествам $ B $ и $ C $.
   • Затем вычисляется пересечение результата ($ B \cap C $) с множеством $ A $. Это те элементы, которые одновременно принадлежат множествам $ A $, $ B $, и $ C $.

Геометрическое представление:

Для визуализации используют диаграммы Венна:
− Круги на рисунке представляют множества $ A $, $ B $, $ C $.
− Пересечения кругов показывают общие элементы множеств.

Анализ задачи:

1. Синий цвет: Выделяется пересечение множеств $ A $ и $ B $, то есть область $ A \cap B $.
2. Жёлтый цвет: Выделяется множество $ C $.
3. Красный цвет: Выделяется пересечение "синего" и "жёлтого" множеств. Это область пересечения $ (A \cap B) \cap C $.

Вывод:

После выполнения действий можно сделать вывод о том, как пересечение множеств влияет на итоговый результат и как выражения $ (A \cap B) \cap C $ и $ A \cap (B \cap C) $ связаны между собой. Это связано с ассоциативностью операции пересечения, которая гласит:
$$ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $$
Таким образом, независимо от порядка выполнения пересечений, итоговая область останется одинаковой.