Сумма площадей двух прямоугольников, имеющих одинаковую длину, равна 220 $дм^2$. Ширина первого прямоугольника равна 4 дм, а ширина второго прямоугольника на 3 дм больше ширины первого. Чему равна длина прямоугольников?

Для решения задачи, связанной с площадями прямоугольников, необходимо использовать знания о формуле площади прямоугольника и свойства сложения чисел.

Теоретическая база, связанная с прямоугольниками и площадью:

1. Площадь прямоугольника. Формула площади $ S $ прямоугольника определяется как произведение его длины $ a $ и ширины $ b $:
   $$ S = a \cdot b $$
   где $ a $ — длина прямоугольника, а $ b $ — ширина прямоугольника.

2. Сложение площадей. Если у нас есть два прямоугольника, то их суммарная площадь равна сумме площадей каждого из них:
   $$ S_{\text{общая}} = S_1 + S_2 $$
   где $ S_1 $ и $ S_2 $ — площади первого и второго прямоугольников соответственно.

3. Выражение длины через известные данные. Если длина прямоугольника одинакова для двух фигур, то её можно обозначить одной переменной $ a $, а ширины $ b_1 $ и $ b_2 $ для первого и второго прямоугольников задать отдельно. Тогда площади двух прямоугольников выражаются как:
   $$ S_1 = a \cdot b_1, \quad S_2 = a \cdot b_2 $$
   Общая площадь двух прямоугольников будет:
   $$ S_{\text{общая}} = a \cdot b_1 + a \cdot b_2 $$

4. Ширины прямоугольников. В задаче сказано, что ширина первого прямоугольника равна 4 дм, а ширина второго на 3 дм больше ширины первого. Значит:
   $$ b_1 = 4, \quad b_2 = 4 + 3 = 7 $$

5. Связь между общей площадью и длиной прямоугольников. Подставляя значения ширины в общую формулу для площади, можно выразить длину $ a $ через известную сумму площадей и ширины. Общая площадь двух прямоугольников равна 220 $ \text{дм}^2 $:
   $$ S_{\text{общая}} = a \cdot b_1 + a \cdot b_2 = a \cdot 4 + a \cdot 7 $$
   Сгруппировав:
   $$ S_{\text{общая}} = a \cdot (4 + 7) $$

6. Уравнение для длины. Общая площадь и выражение через длину и ширины дают уравнение, которое можно решить для нахождения длины $ a $:
   $$ S_{\text{общая}} = a \cdot 11 $$
   Подставляя значение $ S_{\text{общая}} = 220 $:
   $$ 220 = a \cdot 11 $$

Таким образом, задача сводится к решению уравнения, чтобы найти длину прямоугольников $ a $.