Найди значения выражений:
752 * 128;
256 * 496;
405 * 527;
906 * 358;
1029 * 374;
8503 * 982;
5007 * 716;
30209 * 245.

Для решения задач, связанных с умножением многозначных чисел, важно понимать основные принципы письменного умножения, свойства умножения и алгоритмы вычислений. Вот подробное теоретическое объяснение.

1. Что такое умножение?

Умножение — это математическая операция, которая представляет собой сокращённое сложение повторяющихся одинаковых чисел. Например, выражение $ 752 \times 128 $ означает, что число $ 752 $ нужно сложить $ 128 $ раз. Однако, поскольку такой подход громоздкий, для вычислений используется алгоритм письменного умножения.

2. Свойства умножения

• Переместительное свойство (коммутативность): $ a \times b = b \times a $. Это означает, что порядок множителей не влияет на результат.
• Сочетательное свойство: $ a \times (b \times c) = (a \times b) \times c $. Это важно при упрощении выражений.
• Распределительное свойство: $ a \times (b + c) = a \times b + a \times c $. Это свойство используется при разложении множителей.

3. Алгоритм письменного умножения

Чтобы умножить многозначные числа, используется метод письменного умножения. Он включает несколько шагов:

Шаг 1: Запись чисел

Запишите множители один под другим, выравнивая их по правой стороне. Например, для $ 752 \times 128 $:

752
× 128


Шаг 2: Умножение каждого разряда

Начните с самого младшего разряда второго множителя (единиц). Умножайте его на все разряды первого множителя (752). Затем переходите к следующему разряду второго множителя (десяткам), затем к сотням и так далее.

Для $ 752 \times 128 $:
1. Умножьте $ 752 $ на $ 8 $ (единицы второго числа).
2. Умножьте $ 752 $ на $ 2 $ (десятки второго числа). Не забудьте добавить ноль к результату, поскольку это десятки.
3. Умножьте $ 752 $ на $ 1 $ (сотни второго числа). Добавьте два нуля к результату.

Шаг 3: Сложение промежуточных результатов

Суммируйте все промежуточные результаты, чтобы получить окончательный ответ.

4. Пример разложения умножения на этапы

Допустим, мы решаем $ 752 \times 128 $. Раскладываем множитель $ 128 $ на суммы, используя распределительное свойство:
$$ 752 \times 128 = 752 \times (100 + 20 + 8). $$
Теперь выполняем умножение отдельно для каждого разряда:
$$ 752 \times 100 = 75200, \quad 752 \times 20 = 15040, \quad 752 \times 8 = 6016. $$
Складываем результаты:
$$ 75200 + 15040 + 6016 = итоговое значение. $$

5. Умножение в столбик

В письменном умножении числа записываются в столбик, и вычисления проводятся поочерёдно для каждого разряда.

Пример: $ 256 \times 496 $:
1. Умножьте $ 256 $ на единицы $ 6 $, получив промежуточный результат.
2. Умножьте $ 256 $ на десятки $ 9 $, добавив один ноль справа.
3. Умножьте $ 256 $ на сотни $ 4 $, добавив два нуля справа.
4. Сложите все полученные промежуточные результаты.

6. Использование таблицы умножения

Для умножения в столбик важно хорошо знать таблицу умножения, чтобы быстро находить произведения отдельных цифр множителей.

7. Умножение больших чисел

Когда множители состоят из нескольких цифр, удобнее разбивать их на части или использовать письменное умножение. Например, для $ 8503 \times 982 $ можно разложить числа:
$$ 8503 \times 982 = 8503 \times (900 + 80 + 2). $$
Затем выполняются три отдельные операции умножения, а их результаты суммируются.

8. Проверка решения

После выполнения умножения можно проверить результат:
− Сравнить порядок величин (например, $ 752 \times 128 \approx 750 \times 130 = 97500 $).
− Использовать калькулятор для подтверждения.

9. Советы для упрощения вычислений

• Раскладывайте большие числа на удобные части, например $ 1029 = 1000 + 20 + 9 $.
• Проверяйте порядок величин, чтобы избежать ошибок в разрядах.
• Выполняйте расчёты шаг за шагом, записывая промежуточные результаты.

Эта теоретическая база охватывает все основные моменты, которые помогут вам правильно выполнить умножение многозначных чисел.