Дима хотел изготовить такую шахматную доску.
Каждая клетка на этой доске − 1 $см^2$.

1) Хватит ли ему для этого куска картона квадратной формы, длина стороны которого 1 дм?
2) Сколько квадратных сантиметров картона у него останется?
3) Узнай площадь трех рядов клеток, семи рядов.
4) Что можно сказать про площади белых и черных клеток, не вычисляя их площадей? Объясни почему.

Для успешного решения задачи необходимо понять основные математические понятия, связанные с площадью, единицами измерения и свойствами шахматной доски.

1. Площадь фигуры

Площадь — это мера, которая показывает, сколько пространства занимает фигура. Для квадратной клетки шахматной доски площадь равна $1 \, \text{см}^2$ (квадратный сантиметр). Формула для нахождения площади квадрата:
$$ S = a^2, $$
где $a$ — длина стороны квадрата.

2. Единицы измерения площади

• $1 \, \text{дм}^2 = 100 \, \text{см}^2$. Длина стороны данного картона составляет $1 \, \text{дм}$. Чтобы найти площадь картона, используя формулу площади квадрата, мы сначала переводим длину стороны в сантиметры: $$ 1 \, \text{дм} = 10 \, \text{см}. $$ Затем: $$ S_{\text{картона}} = (10 \, \text{см})^2 = 100 \, \text{см}^2. $$ Таким образом, кусок картона имеет площадь $100 \, \text{см}^2$.

3. Шахматная доска

Шахматная доска состоит из клеток, которые организованы в виде таблицы размером $8 \times 8$. Это значит, что:
− Доска имеет $8$ клеток в длину и $8$ клеток в ширину.
− Общее количество клеток на доске можно найти, перемножив количество клеток по каждой стороне:
$$ \text{Количество клеток} = 8 \times 8 = 64. $$
Поскольку каждая клетка имеет площадь $1 \, \text{см}^2$, общая площадь шахматной доски будет равна:
$$ S_{\text{доски}} = 64 \, \text{см}^2. $$

4. Остаток картона

Чтобы узнать, сколько картона осталось после изготовления шахматной доски, нужно вычесть площадь доски из площади картона:
$$ \text{Остаток картона} = S_{\text{картона}} - S_{\text{доски}}. $$

5. Ряды клеток

• Один ряд на шахматной доске состоит из 8 клеток. Площадь одного ряда можно найти, умножив количество клеток в ряду на площадь одной клетки: $$ S_{\text{одного ряда}} = 8 \times 1 = 8 \, \text{см}^2. $$
• Для нескольких рядов (например, 3 или 7) площадь можно найти, умножив площадь одного ряда на количество рядов: $$ S_{\text{нескольких рядов}} = \text{Количество рядов} \times S_{\text{одного ряда}}. $$

6. Свойства черных и белых клеток

Шахматная доска имеет одинаковое количество черных и белых клеток, поскольку они расположены чередующимся образом. На каждой строке клетки черного и белого цвета чередуются, и всего строк 8. Половина клеток шахматной доски будет черного цвета, а половина — белого.
Общее количество клеток: $64$, значит:
$$ \text{Количество черных клеток} = \text{Количество белых клеток} = \frac{64}{2} = 32. $$
Площадь черных и белых клеток одинаковая, потому что площадь каждой клетки одинакова и количество клеток каждого цвета одинаково.

Выводы

Для решения задачи необходимо:
− Найти площадь картона и шахматной доски.
− Сравнить площади, чтобы понять, хватит ли картона.
− Рассчитать площади для указанного количества рядов.
− Использовать свойство симметрии шахматной доски для определения равенства площадей черных и белых клеток.