1) Назови по 3 числа, при делении которых на 10 в остатке может получится 2; 4; 0.
2) Может ли при делении на 6 получиться в остатке 9? при делении на 12 получиться в остатке 11? 13? 10?
3) Какие остатки могут получиться при делении на 5? на 8? на 3? на 12?

Для того чтобы ответить на вопросы, нужно понять, что такое деление с остатком, как оно работает и какие остатки могут получаться при делении чисел.

Деление с остатком — это способ разделить одно число на другое, когда результат деления не является целым числом. Например, при делении числа 14 на 5, мы получаем частное 2 (целая часть) и остаток 4, потому что $14 = 5 \cdot 2 + 4$. Остаток — это часть числа, которая «остается», если мы не можем полностью разделить число на делитель.

Основная теоретическая идея:
1. Когда одно число делится на другое, результат записывается как:
$ \text{Число} = \text{Делитель} \cdot \text{Частное} + \text{Остаток} $,
где остаток — это число, которое меньше делителя.

1. Остаток при делении всегда находится в диапазоне от 0 до $n-1$, где $n$ — это делитель. Например, если делить на 10, остатки могут быть от 0 до 9, потому что $n-1 = 10-1 = 9$.

2. Остаток зависит от того, насколько число не полностью кратно делителю.
   Например, если число делится на делитель полностью (без остатка), то остаток равен 0. Если число немного больше ближайшего кратного делителю, то остаток будет соответствовать разнице.

Применение этой теории:

1. Числа, дающие конкретные остатки:

   • Если нужно найти числа, которые при делении на 10 дают остаток 2, то такие числа имеют вид: $10 \cdot k + 2$, где $k$ — любое целое число. Примеры: $12, 22, 32, \dots$.
   • Если нужно найти числа с остатком 4 при делении на 10, то такие числа имеют вид: $10 \cdot k + 4$. Примеры: $14, 24, 34, \dots$.
   • Если остаток равен 0, то это числа, которые делятся на 10 полностью: $10, 20, 30, \dots$.

2. Остатки при делении на конкретное число:

   • Остаток НЕ может быть больше или равен делителю. Например, при делении на 6 остаток не может быть 9, потому что остаток при делении на 6 всегда находится в диапазоне от 0 до 5.
   • Аналогично, при делении на 12, остаток не может быть 12, 13 или больше, потому что он всегда меньше 12 (0–11).

3. Остатки для разных делителей:

   • При делении на 5 остатки могут быть $0, 1, 2, 3, 4$, потому что это все возможные остатки меньше 5.
   • При делении на 8 остатки могут быть $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.
   • При делении на 3 остатки могут быть $0, 1, 2$.
   • При делении на 12 остатки могут быть $0, 1, 2, \dots, 11$.

Как найти остаток?
1. Для числа $a$, которое делится на $n$:
− Найдите ближайшее меньшее кратное $n$, которое меньше или равно $a$.
− Вычислите разницу $a - (\text{это кратное})$. Эта разница — остаток.

Примерный алгоритм рассуждений:
− Если спрашивают, какие числа дают определённый остаток, надо записать формулу вида $n \cdot k + \text{остаток}$, где $k$ — любое целое число.
− Если спрашивают, могут ли определённые остатки получаться, надо проверить, не превышает ли указанный остаток значение делителя.
− Если спрашивают, какие остатки возможны при делении на число $n$, ответ всегда от $0$ до $n-1$.

Таким образом, используя эти теоретические принципы, можно ответить на любые подобные вопросы.