На аэродроме 20 самолетов. Сколько всего троек самолетов может подняться в воздух? Сколько при этом самолетов останется на земле?

Для решения этой задачи понадобится понимание теории комбинаторики, а именно, принципа подсчёта числа способов выбрать определённое количество объектов из множества без учёта порядка. Такой подход называется "выбором сочетаний".

Теоретическая часть:

Сочетания и формула для их вычисления:
Сочетание — это способ выбрать несколько объектов из множества, при котором порядок выбранных объектов не имеет значения. Например, если у вас есть 3 самолёта, и вы выбираете 2, то сочетания будут: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

Для вычисления числа сочетаний, используется следующая формула:
$$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
где:
− $ n $ — общее количество объектов,
− $ k $ — количество объектов, которые выбираются из множества,
− $ n! $ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $ n $,
− $ k! $ и $ (n-k)! $ — аналогично факториалы для чисел $ k $ и $ n-k $.

Факториал ($ n! $) вычисляется следующим образом:
$$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 $$
и для $ 0! $ принято считать, что $ 0! = 1 $.

Пример использования формулы сочетаний:
Предположим, что у нас есть 5 самолётов, и мы хотим выбрать из них 3. Тогда $ n = 5 $, $ k = 3 $. Число сочетаний будет:
$$ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 $$
То есть, существует 10 различных способов выбрать 3 самолёта из 5.

Применение в задаче:
В задаче говорится о том, что на аэродроме находится $ n = 20 $ самолётов, и необходимо выбрать $ k = 3 $ из них, чтобы они поднялись в воздух. Порядок, в котором самолёты выбираются, не имеет значения, поэтому используется формула для расчёта числа сочетаний:
$$ C(20, 3) = \frac{20!}{3! \times (20-3)!} $$

Что происходит после выбора:
Если из 20 самолётов выбрали 3, то оставшиеся самолёты (20 − 3 = 17) остаются на земле. Это простое вычитание: чтобы узнать, сколько самолётов остаётся, нужно от общего числа самолётов вычесть количество выбранных для полёта.

Резюме теоретической части:
1. Задача основывается на расчёте числа сочетаний $ C(n, k) $, где $ n = 20 $ — общее количество самолётов, и $ k = 3 $ — количество выбираемых самолётов.
2. Формула сочетаний: $$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$.
3. Факториал ($ n! $) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $ n $.
4. После выбора 3 самолётов, оставшиеся $ n - k $ самолёты остаются на земле.

Таким образом, для решения задачи потребуется:
− Вычислить $ C(20, 3) $ по формуле сочетаний.
− Вычесть 3 из 20, чтобы узнать, сколько самолётов останется на земле.