Объясни, почему верны равенства.
8 * 3 + 7 * 3 = (8 + 7) * 3;
17 * 5 + 3 * 5 = (17 + 3) * 5;
6 * 8 + 4 * 8 = 10 * 8.

Чтобы объяснить, почему данные равенства верны, нужно рассмотреть их с точки зрения математики и свойств арифметических действий. Здесь используются такие понятия, как распределительный закон умножения и свойства сложения.

Распределительный закон умножения

Распределительный закон (или дистрибутивный закон) утверждает, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ выполняется следующее равенство:

$$ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) $$

Это означает, что если мы умножаем число $a$ на сумму двух чисел $b$ и $c$, то результат будет равен сумме произведений $a$ на $b$ и $a$ на $c$.

Обратное утверждение

Распределительный закон работает в обе стороны. Если у нас есть сумма двух произведений, например:

$$ (a \cdot b) + (a \cdot c), $$

то эту сумму можно представить как произведение числа $a$ на сумму чисел $b$ и $c$:

$$ (a \cdot b) + (a \cdot c) = a \cdot (b + c). $$

Применение распределительного закона в задаче

Теперь посмотрим, как распределительный закон используется для проверки данных равенств.

1. Равенство $8 \cdot 3 + 7 \cdot 3 = (8 + 7) \cdot 3$:

   • В левой части равенства записана сумма двух произведений: $8 \cdot 3$ и $7 \cdot 3$.
   • Согласно распределительному закону, можно вынести общий множитель $3$ за скобки: $$ 8 \cdot 3 + 7 \cdot 3 = (8 + 7) \cdot 3. $$
   • Это равенство верно, потому что мы применили правило объединения одинакового множителя.

2. Равенство $17 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = (17 + 3) \cdot 5$:

   • Левая часть равенства представляет собой сумму $17 \cdot 5$ и $3 \cdot 5$.
   • Используем распределительный закон, вынося общий множитель $5$: $$ 17 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = (17 + 3) \cdot 5. $$
   • Таким образом, равенство верно.

3. Равенство $6 \cdot 8 + 4 \cdot 8 = 10 \cdot 8$:

   • В левой части равенства записана сумма $6 \cdot 8$ и $4 \cdot 8$.
   • Общий множитель $8$ можно вынести за скобки: $$ 6 \cdot 8 + 4 \cdot 8 = (6 + 4) \cdot 8. $$
   • Сумма $6 + 4$ равна $10$, поэтому: $$ (6 + 4) \cdot 8 = 10 \cdot 8. $$
   • Равенство верно.

Почему это работает

Основная идея состоит в том, что одинаковый множитель при сложении произведений можно вынести за скобки. Это упрощает вычисления и помогает увидеть, как числа связаны между собой.

Применение в практике

Такой способ представления чисел и операций полезен в математике для упрощения сложных выражений, а также для более глубокого понимания структуры чисел. Распределительный закон — это один из ключевых законов арифметики, который широко используется в алгебре и других областях математики.