Начерти прямоугольник с периметром 12 см и с наибольшей площадью.

Чтобы подойти к решению задачи, важно понять основные связанные с ней понятия и шаги, которые помогут определить правильный ответ.

1. Понятие прямоугольника
   Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90°), а противоположные стороны равны по длине. Он имеет две пары параллельных сторон: длина ($a$) и ширина ($b$).

2. Формула периметра прямоугольника
   Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Для прямоугольника формула периметра будет такой:
   $$ P = 2a + 2b $$
   Здесь $a$ — длина, $b$ — ширина, а $P$ — периметр.

В задаче известно, что периметр прямоугольника равен 12 см. Значит:
$$ 2a + 2b = 12 $$
или, разделив обе стороны на 2:
$$ a + b = 6 $$

1. Формула площади прямоугольника
   Площадь прямоугольника определяется как произведение его длины на ширину:
   $$ S = a \cdot b $$
   Здесь $S$ — площадь.

2. Связь между длиной, шириной и периметром
   Из уравнения $a + b = 6$ можно выразить одну из сторон через другую. Например:
   $$ b = 6 - a $$
   Подставляя это выражение в формулу площади, мы можем выразить $S$ только через $a$:
   $$ S = a \cdot b = a \cdot (6 - a) = 6a - a^2 $$
   Это квадратное выражение для площади.

3. Оптимизация площади
   Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью, нам нужно определить максимально возможное значение функции $S = 6a - a^2$. Это задача на нахождение максимума квадратичной функции.
   В теории квадратных функций известно, что парабола $y = -ax^2 + bx + c$ достигает максимума в вершине, если коэффициент при $x^2$ отрицательный (что у нас и есть: $-a^2$). Координата вершины по $x$ находится по формуле:
   $$ x = -\frac{b}{2a} $$
   В данном случае функция для площади записана как:
   $$ S = -a^2 + 6a $$
   Здесь $a = -1$, $b = 6$. Координата вершины:
   $$ a = -\frac{6}{2(-1)} = 3 $$

4. Особый случай квадрата
   Когда длина и ширина прямоугольника равны ($a = b$), фигура становится квадратом. Для квадрата с заданным периметром площадь всегда будет максимальной.
   Если $a = b$, то из условия периметра ($a + b = 6$):
   $$ a = b = 3 $$

5. Геометрическое обоснование
   Из всех прямоугольников с фиксированным периметром, квадрат всегда имеет максимальную площадь. Это вытекает из свойств равномерного распределения сторон у квадрата.

Резюмируя, теоретические шаги к решению задачи включают:
− Использование формулы периметра для нахождения длины и ширины.
− Применение формулы площади для оптимизации.
− Учет того, что квадрат с данным периметром имеет наибольшую площадь.