56 : 8
54 : 9
81 : 9 * 8
45 : 5 * 7
4 * 9 − 40 : 5
42 : 6 + 8 * 8
27 : (20 − 11)
49 : (60 − 53)

Для решения приведённых выражений необходимо использовать базовые математические операции: деление, умножение, сложение и вычитание. Чтобы правильно выполнять вычисления, важно учитывать порядок выполнения операций и свойства арифметики.

Основные правила выполнения математических операций:

1. Порядок действий: В математике существует определённый порядок выполнения операций:
   • Сначала выполняются операции в скобках.
   • Затем умножение и деление (по порядку, слева направо).
   • После этого сложение и вычитание (также по порядку, слева направо).

Например, в выражении 4 * 9 − 40 : 5, сначала нужно выполнить умножение (4 * 9), затем деление (40 : 5), а в конце вычитание.

1. Деление:
   Деление — это операция, которая определяет, сколько раз одно число содержится в другом. Например, 56 : 8 означает: сколько раз число 8 "вмещается" в число 56. Чтобы проверить результат, можно умножить полученный ответ на делитель и убедиться, что произведение равно делимому.

2. Умножение:
   Умножение используется для нахождения суммы одинаковых чисел, сложенных определённое количество раз. Например, 81 : 9 * 8 сначала требует найти результат деления (81 : 9), а затем умножить этот результат на 8.

3. Вычитание:
   Вычитание — это операция, которая определяет разницу между двумя числами. Например, в выражении 4 * 9 − 40 : 5, вычитание выполняется после завершения умножения и деления.

4. Сложение:
   Сложение используется для нахождения суммы двух или более чисел. В выражении 42 : 6 + 8 * 8 сложение выполняется после деления и умножения.

Работа со скобками:

Скобки используются для обозначения части выражения, которую нужно выполнить в первую очередь. Если в выражении указаны скобки, математические действия внутри скобок выполняются до остальных операций. Например, в выражении 27 : (20 − 11) сначала нужно выполнить действие в скобках (20 − 11), а затем деление (27 : результат из скобок).

Свойства деления:

• Деление связано с умножением. Чтобы проверить результат деления, можно умножить ответ на делитель: результат умножения должен равняться делимому. Например, если 56 : 8 равно 7, то 7 * 8 = 56.
• Делить на ноль невозможно — это не определено в математике.

Свойства умножения:

• Умножение является повторяющимся сложением. Например, 4 * 9 означает взять 9 четыре раза: 9 + 9 + 9 + 9.
• Умножение на единицу оставляет число неизменным: x * 1 = x.
• Умножение на ноль всегда даёт ноль: x * 0 = 0.

Свойства сложения и вычитания:

• Сложение коммутативно: порядок чисел не влияет на результат (a + b = b + a).
• Вычитание не является коммутативным: порядок чисел важен (a − b ≠ b − a).

Правила вычислений с числами:

1. Если в выражении есть несколько операций, выполняйте их в установленном порядке.
2. Всегда выполняйте действия в скобках до всех остальных операций.
3. Проверяйте результаты, особенно в случае деления, чтобы убедиться в правильности вычислений.

Теперь вы можете использовать эти теоретические знания для решения выражений!